"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углублённый уровни", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Суммы и произведения синусов и косинусов можно записывать по-разному: сумму — как произведение, а произведение — как сумму. Такие преобразования помогают сокращать выражения, доказывать тождества и решать уравнения. Главный инструмент — формулы, в которых участвуют полусумма (α + β)/2 и полуразность (α − β)/2 углов. Чтобы не ошибиться, нужно распознать вид выражения и внимательно проследить за знаками, порядком углов и числовым коэффициентом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая сумма синусов или косинусов — выражение, в котором синусы или косинусы складываются с учётом знаков слагаемых. Например, sin α + sin β — сумма синусов, а cos α − cos β — разность косинусов. Это название помогает сначала распознать строение выражения, а затем подобрать нужное преобразование.
Преобразование суммы в произведение — представление суммы или разности синусов и косинусов как произведения двух тригонометрических множителей. Например, sin α + sin β можно заменить произведением синуса и косинуса. Такой вид удобен, если нужно найти нули выражения или вынести общий множитель.
Преобразование произведения в сумму — представление произведения синусов и косинусов как суммы или разности синусов либо косинусов. В результате произведение двух функций превращается в выражение, с которым бывает проще выполнять дальнейшие действия. Этот переход особенно полезен, когда несколько произведений можно объединить после преобразования.
Полусумма и полуразность углов — выражения (α + β)/2 и (α − β)/2. Это не новые углы исходной задачи, а удобные аргументы функций в формулах преобразования. Их важно записывать целиком, заключая сумму или разность углов в скобки до деления на 2.
Формулы преобразования сумм строятся на формулах сложения синуса и косинуса. Для этого исходные углы представляют как α = (α + β)/2 + (α − β)/2 и β = (α + β)/2 − (α − β)/2. Тогда при сложении или вычитании формул сложения одни слагаемые сокращаются, а другие складываются. Так появляются полусумма, полуразность и множитель 2.
У суммы синусов получается sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2), а у разности — sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2). Причина разницы в том, какие слагаемые сокращаются при вычитании вместо сложения. Поэтому нельзя просто заменить плюс на минус в готовом произведении: меняются и функции, и их аргументы.
Сумма косинусов имеет вид cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2). Для разности косинусов получается cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Минус возникает из-за соотношения cos(−x) = cos x: косинус не меняется при смене знака аргумента, и при вычитании соответствующие слагаемые дают отрицательный результат. Именно поэтому этот знак стоит перед всем произведением.
Формулы для произведений тоже следуют из формул сложения и вычитания, только теперь складывают или вычитают выражения с углами α + β и α − β. Например, сумма cos(α − β) + cos(α + β) после раскрытия формул сложения равна 2 cos α cos β. Разделив равенство на 2, получаем формулу произведения косинусов. Аналогично выводятся остальные три формулы, но для разных видов множителей возникают разные функции и знаки.
Выбирая формулу, сначала определите вид исходного выражения, а затем сверяйте порядок углов и знак между ними. В формулах сумм аргументы новых функций — полусумма и полуразность; в формулах произведений встречаются полные углы α + β и α − β. Такое различие помогает не смешивать два направления преобразования. После подстановки полезно отдельно проверить коэффициент и знак перед выражением.
| Вид выражения | Формула | Особенности применения |
|---|---|---|
| Сумма синусов: sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) | Синус полусуммы, косинус полуразности. |
| Разность синусов: sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) | Косинус полусуммы, синус полуразности. |
| Сумма косинусов: cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) | Оба множителя — косинусы. |
| Разность косинусов: cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) | Минус относится ко всему произведению. |
| Произведение синусов: sin α · sin β | ½[cos(α − β) − cos(α + β)] | Сначала косинус разности, затем вычитается косинус суммы. |
| Произведение косинусов: cos α · cos β | ½[cos(α − β) + cos(α + β)] | Складываются косинусы разности и суммы. |
| Произведение синуса и косинуса: sin α · cos β | ½[sin(α + β) + sin(α − β)] | Получаются два синуса со знаком плюс. |
| Произведение косинуса и синуса: cos α · sin β | ½[sin(α + β) − sin(α − β)] | Во втором слагаемом знак минус. |
Сначала найдите в левом столбце точно такой же вид выражения, как в задаче, затем перенесите аргументы и знаки из формулы. Не переставляйте α и β незаметно: при этом может измениться знак полуразности или второго слагаемого. После преобразования проверьте коэффициент и вид получившихся функций.
Преобразовать и вычислить sin 75° + sin 15°. Здесь даны два синуса со знаком плюс, поэтому подходит формула суммы синусов. Она переводит сумму в произведение и позволяет вычислить результат по табличным углам. Углы удобно подставить как α = 75° и β = 15°.
Ответ: sin 75° + sin 15° = √6/2. Проверка показывает, что коэффициент 2 сократился с двумя знаменателями 2, а результат положителен, как и оба слагаемых.
Преобразовать cos 5x − cos x и найти его вид при x = π/6. Это разность косинусов, поэтому нужен знак минус перед произведением. В формуле положим α = 5x, β = x: порядок именно такой, как в исходном выражении. Сначала преобразуем выражение для любого x, а затем подставим заданное значение.
Ответ: cos 5x − cos x = −2 sin 3x sin 2x; при x = π/6 значение выражения равно −√3. Отрицательный результат согласуется со знаком формулы и служит дополнительной проверкой.
Упростить sin 7x · sin 3x + cos 7x · cos 3x. Здесь нельзя сразу применить формулу сложения: записаны два произведения. Преобразуем каждое отдельно, сохраняя порядок углов, а затем посмотрим, какие слагаемые взаимно уничтожаются. Это покажет, почему выражение сводится к одной функции.
Ответ: sin 7x · sin 3x + cos 7x · cos 3x = cos 4x. Важно преобразовать оба произведения: только после этого заметно сокращение и складываются коэффициенты ½.
В формуле разности косинусов забывают общий знак минус и записывают произведение положительным. Ошибка возникает, когда формулу запоминают по аналогии с суммой косинусов. Проверьте себя подстановкой α = 0 и β = π: исходное выражение равно 2, а верная формула тоже даёт 2 с учётом внешнего минуса.
Полусумму или полуразность записывают без деления на 2, например α + β вместо (α + β)/2. Так происходит, если скобки в числителе теряются при быстрой подстановке. Каждый раз сначала сложите или вычтите углы, заключите результат в скобки и только потом разделите на 2.
Путают порядок углов или знак полуразности, особенно при разности синусов и произведениях. Это меняет знак некоторых выражений, ведь sin(−x) = −sin x, хотя cos(−x) = cos x. Сопоставьте первый угол с α, второй с β и не переставляйте их без пересчёта; проверка на простых значениях обнаружит неверный знак.
К произведению синуса и косинуса применяют формулу для двух синусов или двух косинусов. Причина ошибки — внешнее сходство записи произведения, хотя вид множителей определяет формулу. Перед подстановкой назовите оба множителя: если один синус, а другой косинус, выбирайте отдельную формулу для смешанного произведения.
Для работы с формулами нужны формулы сложения и вычитания синуса и косинуса, а также свойства чётности и нечётности тригонометрических функций. Преобразования продолжают знакомые действия с выражениями: раскрытие скобок и вынесение общего множителя, только теперь они выполняются для тригонометрических функций. Суммы и произведения удобно упрощать, доказывая тождества и решая тригонометрические уравнения. Поэтому навык выбора формулы помогает свести сложное выражение к более простому виду.
Как понять, какую формулу преобразования выбрать?
Сначала определите, что дано: сумма или разность двух функций либо произведение. Затем проверьте, какие именно функции стоят в выражении: два синуса, два косинуса или синус с косинусом. Подставьте углы в соответствующую формулу и сохраните их порядок.
Почему в формуле разности косинусов появляется знак «минус»?
При преобразовании cos α − cos β формула даёт −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Этот знак следует из свойств косинуса и разности синусов, через которую можно получить формулу. Проверить его помогает пример α = β: исходная разность равна нулю.
Зачем в формулах используются полусумма и полуразность углов?
Если обозначить полусумму и полуразность через u и v, то исходные углы выражаются как α = u + v и β = u − v. Формулы сложения позволяют разложить функции от этих углов так, чтобы получить нужную сумму или разность. Поэтому аргументами новых функций становятся именно u и v.
Можно ли преобразовывать произведение синуса и косинуса по одной из формул для произведения одинаковых функций?
Нет: формулы для sin α · sin β и cos α · cos β не подходят к произведению синуса и косинуса. Для sin α · cos β используют отдельную формулу: ½[sin(α + β) + sin(α − β)]. Если множители записаны в обратном порядке, можно переставить их, поскольку умножение коммутативно.
Как проверить правильность полученного преобразования?
Сверьте вид формулы, аргументы, коэффициент и знаки. Можно подставить простые углы, например α = β, и проверить, совпадают ли значения обеих частей. Если проверяете тождество для любых углов, раскройте полученное произведение или примените формулы сложения.
1.7. Преобразование алгебраических сумм синусов и косинусов в произведения. Преобразование произведений синусов и косинусов в алгебраические суммы
