1.8*. Формулы тройного и половинного угла

Определения и обозначения

Формула синуса тройного угла выражает sin 3x через синус x: sin 3x = 3 sin x − 4 sin³ x. Она позволяет найти значение синуса утроенного угла, не вычисляя его отдельно. Запись sin³ x означает (sin x)³.

Формула косинуса тройного угла записывается так: cos 3x = 4 cos³ x − 3 cos x. Она нужна, чтобы заменить косинус утроенного угла выражением через cos x. Важно отличать её от формулы синуса: здесь присутствуют кубическая и линейная степени косинуса.

Формулы половинного угла связывают синус и косинус x/2 с косинусом x: sin²(x/2) = (1 − cos x)/2 и cos²(x/2) = (1 + cos x)/2. Если требуется сам синус или косинус, нужно извлечь корень и выбрать знак. Эти формулы помогают находить значения функций угла, вдвое меньшего заданного.

Формула тангенса половинного угла имеет вид tg(x/2) = sin x/(1 + cos x) = (1 − cos x)/sin x. Она получается через отношение синуса к косинусу половинного угла и удобна, когда известны функции угла x. Каждую дробь можно использовать только при ненулевом знаменателе, а тангенс должен быть определён.

Как это устроено

Чтобы получить формулы тройного угла, представим 3x как сумму 2x + x. Формулы суммы позволяют разложить синус и косинус этой суммы, а формулы двойного угла заменяют функции 2x выражениями через x. Такой путь удобен тем, что в результате остаются только функции одного угла.

Для синуса суммы имеем sin 3x = sin 2x cos x + cos 2x sin x. Подставим sin 2x = 2 sin x cos x и cos 2x = 1 − 2 sin² x: получим 2 sin x cos² x + sin x − 2 sin³ x. Так как cos² x = 1 − sin² x, это выражение становится 2 sin x − 2 sin³ x + sin x − 2 sin³ x = 3 sin x − 4 sin³ x.

Для косинуса суммы получаем cos 3x = cos 2x cos x − sin 2x sin x. После подстановки формул двойного угла выходит (2 cos² x − 1) cos x − 2 sin² x cos x. Заменим sin² x на 1 − cos² x: выражение равно 4 cos³ x − 3 cos x. Тот же результат можно проверить подстановкой cos 2x = 2 cos² x − 1 и раскрытием скобок.

Формулы половинного угла следуют из равенств cos x = 1 − 2 sin²(x/2) и cos x = 2 cos²(x/2) − 1. Переносим слагаемые: sin²(x/2) = (1 − cos x)/2, а cos²(x/2) = (1 + cos x)/2. При извлечении корня нельзя автоматически ставить плюс: квадрат числа не показывает, было оно положительным или отрицательным. Знак выбирают по четверти, куда попадает x/2.

Чтобы вывести тангенс половинного угла, разделим выражение для sin(x/2) на выражение для cos(x/2). При ненулевых знаменателях это даёт tg(x/2) = sin x/(1 + cos x); преобразование дроби приводит также к tg(x/2) = (1 − cos x)/sin x. Первая запись невозможна при cos x = −1, вторая — при sin x = 0. Кроме того, tg(x/2) не определён, если cos(x/2) = 0.

Формулы тройного и половинного угла

В таблице сначала найдите нужную функцию, затем выберите столбец с тройным или половинным углом. Формулы для квадратов при необходимости превращают в формулы с корнем, но знак определяют отдельно. Для тангенса прежде проверьте, что знаменатели не равны нулю и значения определены.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить sin 3x, если sin x = 1/2 и x лежит в первой четверти. Здесь известного значения синуса достаточно: формула тройного угла не требует знать знак cos x. Поэтому можно сразу подставить заданное число и аккуратно возвести его в куб.

1. Запишем формулу: sin 3x = 3 sin x − 4 sin³ x.
2. Подставим sin x = 1/2: sin 3x = 3 · 1/2 − 4 · (1/2)³.
3. Вычислим: 3/2 − 4 · 1/8 = 3/2 − 1/2 = 1.

Ответ: sin 3x = 1. Условие о первой четверти согласуется с заданным синусом, но при таком способе вычисления дополнительный выбор знака не нужен.

Задача 2. Найти sin(x/2) и cos(x/2), если cos x = −3/5 и π < x < 2π. Делить диапазон для x на два важно: получаем π/2 < x/2 < π, то есть половинный угол лежит во второй четверти. Значит, синус положителен, а косинус отрицателен.

1. По формуле квадрата синуса: sin²(x/2) = (1 − cos x)/2 = (1 + 3/5)/2 = 4/5. Во второй четверти синус положителен, поэтому sin(x/2) = √(4/5) = 2/√5.
2. По формуле квадрата косинуса: cos²(x/2) = (1 + cos x)/2 = (1 − 3/5)/2 = 1/5. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому cos(x/2) = −√(1/5) = −1/√5.

Ответ: sin(x/2) = 2/√5, cos(x/2) = −1/√5. Проверка: сумма квадратов найденных значений равна 4/5 + 1/5 = 1.

Задача 3. Упростить выражение 4 cos³ x − 3 cos x и решить уравнение 4 cos³ x − 3 cos x = 0 на заданном промежутке. Границы промежутка в условии не указаны, поэтому сначала найдём все корни, а затем оставим только те, которые в него попадают. Такое распознавание формулы превращает кубическое выражение в более простое тригонометрическое уравнение.

1. По формуле косинуса тройного угла 4 cos³ x − 3 cos x = cos 3x. Выражение упрощено до cos 3x.
2. Уравнение cos 3x = 0 выполняется, когда 3x = π/2 + πk, где k ∈ Z.
3. Разделим на 3: x = π/6 + πk/3, где k ∈ Z. Из найденных значений выбираем только те, что принадлежат заданному промежутку.

Ответ: выражение равно cos 3x; корни уравнения — x = π/6 + πk/3, k ∈ Z, с отбором по заданному промежутку. Без его границ перечислить только корни внутри него нельзя.

Типичные ошибки

Записывают sin 3x как 3 sin x, забывая слагаемое −4 sin³ x. Так происходит, если формулу ошибочно принимают за простое утроение значения функции. Проверьте запись выводом через sin(2x + x) или подстановкой x = π/2: формула должна дать sin(3π/2) = −1.

Путают знаки и слагаемые формул синуса и косинуса тройного угла. В результате могут приписать синусу член с косинусом или поставить неверный знак перед линейной частью косинуса. Чтобы проверить себя, запомните пары целиком: sin 3x = 3 sin x − 4 sin³ x, cos 3x = 4 cos³ x − 3 cos x, а затем сверяйте каждый член.

При извлечении корня из формул половинного угла всегда выбирают положительное значение. Это неверно, потому что корень из квадрата даёт модуль, а знак функции зависит от четверти угла x/2. Сначала разделите известный промежуток для x пополам, определите четверть, и только потом поставьте перед корнем нужный знак.

Формулу тангенса половинного угла применяют при нулевом знаменателе или забывают, что тангенс может не существовать. Например, запись с 1 + cos x нельзя использовать, если cos x = −1, а запись с sin x — если sin x = 0. Перед преобразованием подставьте значения в знаменатели и отдельно убедитесь, что определён tg(x/2).

Связь с другими темами

Для вывода формул тройного угла нужны формулы синуса и косинуса суммы, формулы двойного угла и основное тождество sin² x + cos² x = 1. При выборе знака в формулах половинного угла пригодятся знания о четвертях и знаках тригонометрических функций. Эти формулы применяют при упрощении выражений и решении тригонометрических уравнений. Формулы половинного угла также позволяют понижать степень выражений, заменяя квадрат синуса или косинуса выражением через косинус удвоенного угла.

Что запомнить

• sin 3x = 3 sin x − 4 sin³ x.
• cos 3x = 4 cos³ x − 3 cos x.
• sin²(x/2) = (1 − cos x)/2.
• cos²(x/2) = (1 + cos x)/2.
• Знак sin(x/2) и cos(x/2) определяют по четверти угла x/2.
• Формулы для тангенса применяют только там, где выражения определены.