3. Формулы приведения

Определения и обозначения

Формулы приведения — равенства, позволяющие заменить тригонометрическую функцию от сложного аргумента функцией от угла α. Например, sin(π + α) = −sin α. Они упрощают вычисления и помогают сводить разные углы к известным значениям.

Опорный угол — угол α, к которому сводится исходный аргумент после выделения π/2, π или 2π. Обычно выбирают острый угол, например π/6 или π/4. Его значение берут из таблицы, а знак определяют отдельно.

Правило знаков — способ определить знак значения функции по четверти, в которой находится угол. В первой четверти положительны все четыре функции, во второй — синус, в третьей — тангенс и котангенс, в четвёртой — косинус. Это правило позволяет не заучивать знак каждой формулы.

Чётность тригонометрических функций — свойство функций при замене аргумента на противоположный. Косинус является чётным: cos(−α) = cos α, а синус, тангенс и котангенс — нечётными. Поэтому для отрицательных углов достаточно изменить знак у нечётной функции.

Как это устроено

Положение точки на единичной окружности задаётся её координатами: абсцисса равна cos x, а ордината — sin x. Поворот на π/2 меняет роли координат, поэтому синус и косинус переходят друг в друга. Знаки новых координат зависят от четверти, в которую попала точка.

При переходе через π/2 меняется не только положение точки, но и координата, которую мы рассматриваем. Поэтому появляются равенства sin(π/2 − α) = cos α и cos(π/2 − α) = sin α. Для тангенса и котангенса это означает взаимную замену, поскольку tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x.

Поворот на π переносит точку единичной окружности в диаметрально противоположное положение. Обе координаты меняют знак, поэтому sin(π + α) = −sin α и cos(π + α) = −cos α. В отношении тангенса и котангенса два изменения знака сокращаются, так что их значения при добавлении π сохраняются.

Число π/2 в аргументе подсказывает, менять ли вид функции. Нечётное число таких слагаемых обычно приводит к переходу sin ↔ cos или tg ↔ ctg, а чётное сохраняет вид функции. После этого знак всё равно проверяют по четверти исходного угла, потому что один и тот же вид может иметь разные знаки.

Произвольный угол сначала удобно уменьшить с помощью периодичности. Для синуса и косинуса можно прибавлять или вычитать 2π, а для тангенса и котангенса — π, пока не получится угол вида π/2 ± α, π ± α или 2π ± α. Затем выбирают соответствующую формулу и проверяют, что исходная функция определена.

Формулы приведения для основных видов аргумента

Сначала найдите строку, соответствующую аргументу, а затем столбец нужной функции. Если угол записан в другом виде, сначала преобразуйте его с помощью периодичности. После выбора формулы обязательно проверьте знак по четверти.

Разбор задач

Задача 1. Упростить выражения sin(π + α) и cos(π − α)

Нужно сохранить опорный угол α и определить, какой знак получают функции после перехода через π.

1. Угол π + α расположен в третьей четверти, если α — острый угол. Синус в третьей четверти отрицателен, поэтому sin(π + α) = −sin α.
2. Угол π − α расположен во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому cos(π − α) = −cos α.

Ответ: sin(π + α) = −sin α; cos(π − α) = −cos α.

Задача 2. Вычислить sin(5π/6), cos(3π/4) и tg(7π/6)

Каждый угол представим через π или 2π и табличный острый угол. Затем учтём знак функции в соответствующей четверти.

1. 5π/6 = π − π/6. Это вторая четверть, где синус положителен: sin(5π/6) = sin(π/6) = ½.
2. 3π/4 = π − π/4. Во второй четверти косинус отрицателен: cos(3π/4) = −cos(π/4) = −√2/2.
3. 7π/6 = π + π/6. Это третья четверть, где тангенс положителен: tg(7π/6) = tg(π/6) = √3/3.

Ответ: ½, −√2/2, √3/3.

Задача 3. Упростить выражение [sin(π + α) · cos(π/2 − α)] / tg(π − α)

Здесь применяются сразу три формулы приведения, поэтому сначала преобразуем каждый множитель отдельно. Область допустимых значений исходного выражения требует, чтобы tg(π − α) была определена и не равнялась нулю.

1. sin(π + α) = −sin α.
2. cos(π/2 − α) = sin α.
3. tg(π − α) = −tg α.
4. Подставляем: [(−sin α) · sin α] / (−tg α) = sin² α / tg α.
5. Если cos α ≠ 0 и sin α ≠ 0, то sin² α / tg α = sin² α · cos α / sin α = sin α cos α.

Ответ: sin α cos α при тех значениях α, где исходное выражение определено.

Типичные ошибки

Механически выбирать знак по виду аргумента. Например, запись π − α сама по себе не заменяет проверку четверти. Представьте угол на окружности и сравните его с границами четвертей.

Забывать о смене функций при добавлении π/2. При таком переходе синус и косинус меняются местами, а тангенс и котангенс переходят друг в друга. Проверьте, сколько раз в аргументе выделяется π/2.

Считать, что при добавлении π любая функция не изменяется. Это верно для tg и ctg, но синус и косинус меняют знак. Подставьте простой угол, например α = π/6, чтобы быстро проверить результат.

Применять формулу к несуществующему значению. Тангенс не определён при x = π/2 + πk, а котангенс — при x = πk. Сначала проверьте область определения, и только потом выполняйте преобразование.

Связь с другими темами

До изучения формул приведения нужны единичная окружность, понятие четверти, знаки тригонометрических функций и основные табличные значения. Эти знания объясняют, откуда берутся перестановка функций и знак.

Формулы приведения применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. С их помощью сложный аргумент заменяют более удобным, не меняя сути задачи.

Они также используются при преобразовании тригонометрических выражений и доказательстве тождеств. Вместе с формулами сложения и основными тождествами эти равенства образуют набор инструментов для преобразований.

Что запомнить

• Сначала выделяют из аргумента π/2, π или 2π и получают опорный угол.
• Знак результата определяют по четверти исходного угла.
• При приведении через π/2 синус и косинус меняются местами.
• При добавлении π синус и косинус меняют знак.
• Тангенс и котангенс имеют период π.
• Функция от отрицательного угла определяется её чётностью или нечётностью.
• Формулу нужно применять только там, где исходная функция определена.