4. Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

Определения и обозначения

Двойной аргумент — выражение 2x, стоящее внутри тригонометрической функции: sin 2x, cos 2x или tg 2x. Это означает, что сначала угол x умножают на 2, а затем находят значение функции. Поэтому sin 2x не равно (sin x)²: в первом случае удваивается аргумент, во втором возводится в квадрат значение функции.

Тройной аргумент — выражение 3x внутри тригонометрической функции, например cos 3x или sin 3x. Здесь утроен угол, а не результат вычисления функции. Такое обозначение нужно отличать от (sin x)³ и (cos x)³, где значение функции возводится в третью степень.

Формулы двойного аргумента — равенства, которые выражают sin 2x, cos 2x и tg 2x через функции от x. Они позволяют заменить более сложный аргумент выражением с привычными sin x, cos x или tg x. Благодаря этому тригонометрические преобразования часто сводятся к алгебраическим.

Формулы тройного аргумента выражают sin 3x, cos 3x и tg 3x через значения функций от x. Их получают из формул сложения, используя представление 3x = 2x + x. Эти формулы особенно полезны при преобразовании многочленов от синуса и косинуса и при решении уравнений.

Как это устроено

Формулы двойного аргумента появляются непосредственно из формул сложения, потому что 2x можно записать как x + x. Например, sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x, а одинаковые слагаемые складываются. Такой подход объясняет происхождение формулы, а не требует запоминать её без связи с уже известными правилами.

Для синуса получаем sin 2x = 2sin x cos x. Для косинуса имеем cos 2x = cos²x − sin²x. Используя sin²x + cos²x = 1, заменяем одну из частей и получаем равносильные формы cos 2x = 1 − 2sin²x и cos 2x = 2cos²x − 1.

Тангенс связан с синусом и косинусом отношением tg 2x = sin 2x/cos 2x. Подстановка формул двойного аргумента даёт дробь 2sin x cos x/(cos²x − sin²x), а деление числителя и знаменателя на cos²x приводит к tg 2x = 2tg x/(1 − tg²x). Эта запись допустима только там, где определены исходные выражения и знаменатель не равен нулю.

Чтобы вывести формулы тройного аргумента, представим 3x как 2x + x. В формулу синуса суммы подставляем sin 2x = 2sin x cos x и cos 2x = cos²x − sin²x, после чего используем sin²x + cos²x = 1; получается sin 3x = 3sin x − 4sin³x. Аналогично формула косинуса суммы приводит к cos 3x = 4cos³x − 3cos x.

Формула для tg 3x получается из отношения sin 3x к cos 3x или из формулы тангенса суммы для 2x + x. В результате tg 3x = (3tg x − tg³x)/(1 − 3tg²x), если все входящие выражения определены и знаменатель не равен нулю. В задаче выбирайте форму с теми функциями, значения которых уже известны: иногда удобнее работать с sin x и cos x, а иногда — с tg x.

Формулы тригонометрических функций двойного и тройного аргумента

В таблице сначала ищите функцию и аргумент, которые встречаются в условии задачи. Для косинуса двойного аргумента выбирайте форму по известной величине: синусу, косинусу или обеим функциям. Формулы с тангенсом применяйте только после проверки существования всех знаменателей.

Разбор задач

Задача 1

Найти sin 2x и cos 2x, если sin x = 3/5 и x принадлежит первой четверти. Принадлежность первой четверти нужна, чтобы правильно определить знак cos x. Затем применяются формулы двойного аргумента.

1. По основному тригонометрическому тождеству cos²x = 1 − sin²x = 1 − 9/25 = 16/25.
2. В первой четверти косинус положителен, поэтому cos x = 4/5.
3. sin 2x = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.
4. cos 2x = cos²x − sin²x = 16/25 − 9/25 = 7/25.

Ответ: sin 2x = 24/25, cos 2x = 7/25. Знак косинуса нельзя выбирать только по результату извлечения корня: его определяет четверть.

Задача 2

Упростить выражение (1 − cos 2x)/sin 2x и указать область допустимых значений. Сначала преобразуем числитель и знаменатель, не забывая, что исходный знаменатель не должен быть нулём. После сокращения сохраняем ограничения исходного выражения.

1. 1 − cos 2x = 1 − (1 − 2sin²x) = 2sin²x.
2. sin 2x = 2sin x cos x, поэтому выражение равно 2sin²x/(2sin x cos x).
3. При sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0 сокращаем общий множитель и получаем tg x.
4. Исходное условие sin 2x ≠ 0 означает 2x ≠ πk, то есть x ≠ πk/2, k ∈ Z.

Ответ: tg x, x ≠ πk/2, k ∈ Z. Одной записи tg x недостаточно для области определения: после сокращения могли бы появиться значения, запрещённые исходной дробью.

Задача 3

Решить уравнение cos 3x = cos x на промежутке [0; 2π]. Удобно заменить cos 3x многочленом от cos x, чтобы получить алгебраическое уравнение. После этого нужно перечислить все углы данного промежутка с найденными значениями косинуса.

1. Пусть c = cos x. Тогда 4c³ − 3c = c.
2. Переносим всё в одну сторону: 4c³ − 4c = 0, откуда 4c(c² − 1) = 0.
3. Получаем c = 0, c = 1 или c = −1.
4. На [0; 2π] этим значениям соответствуют x = π/2, 3π/2; x = 0, 2π; x = π.

Ответ: x ∈ {0, π/2, π, 3π/2, 2π}. Проверка углов по исходному уравнению подтверждает все найденные корни.

Типичные ошибки

Ошибка «sin 2x = 2sin x» возникает, когда множитель перед x принимают за множитель значения функции. На самом деле правильная формула содержит cos x: sin 2x = 2sin x cos x. Проверяйте себя выводом через формулу sin(x + x).

Нельзя заменять sin 2x на sin²x или cos 2x на cos²x. Число 2 относится к аргументу в первом выражении и к степени значения функции во втором. Полезно проговаривать запись словами: «синус двойного угла» или «квадрат синуса угла».

Формулы tg 2x и tg 3x нельзя применять без проверки знаменателя. Например, в формуле tg 2x знаменатель 1 − tg²x должен быть ненулевым, а сам tg x должен существовать. Перед преобразованием выпишите ограничения исходного выражения.

При переходе к уравнению относительно sin x или cos x можно потерять углы или добавить недопустимые значения. Причина обычно в том, что не учитывают все решения на промежутке либо забывают проверить корни в исходном уравнении. После алгебраического решения составьте полный список углов и выполните проверку.

Связь с другими темами

Для вывода формул нужны формулы сложения и вычитания аргументов, основное тригонометрическое тождество и знания о знаках функций в четвертях. Полученные равенства применяются при преобразовании выражений и решении тригонометрических уравнений. Они также связаны с понижением степени, разложением многочленов от sin x и cos x и исследованием сложных тригонометрических функций.

Что запомнить

• sin 2x и sin 3x — значения функции от удвоенного и утроенного аргумента, а не квадраты и кубы значений.
• sin 2x = 2sin x cos x.
• cos 2x можно записывать через sin²x, через cos²x или как cos²x − sin²x.
• tg 2x = 2tg x/(1 − tg²x) при ненулевом знаменателе и определённом tg x.
• Формулы тройного аргумента выводятся из формул сложения для 2x + x.
• Перед сокращением или делением проверяйте область допустимых значений.
• При решении уравнений учитывайте ограничения и проверяйте найденные корни.