"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Формулы половинного аргумента выражают sin(x/2), cos(x/2), tg(x/2) и ctg(x/2) через функции от x. Они получаются из формул двойного аргумента и помогают находить точные значения, преобразовывать выражения и решать тригонометрические задачи. Главное — правильно выбрать знак квадратного корня по четверти, в которой находится именно x/2, а также проверить знаменатели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Половинный аргумент — выражение x/2, связанное с исходным аргументом x. Если функция имеет вид sin(x/2), её аргумент в два раза меньше x, поэтому формулу называют формулой половинного аргумента. Такое обозначение помогает перейти от известного угла x к более сложному для вычисления углу x/2.
Синус половинного аргумента — значение sin(x/2). Его находят через косинус исходного аргумента: sin(x/2) = ±√((1 − cos x)/2). Эта формула особенно полезна, когда cos x уже известен, но точное значение sin(x/2) напрямую не задано.
Косинус половинного аргумента — значение cos(x/2). Он выражается равенством cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2), причём знак зависит от положения x/2 на окружности. Формула позволяет вычислять косинусы углов вроде π/8 или 5π/12 через знакомые значения.
Тангенс и котангенс половинного аргумента — функции tg(x/2) и ctg(x/2). Их можно выразить через sin x и cos x либо через квадратные корни: например, tg(x/2) = sin x/(1 + cos x). Такие формы выбирают в зависимости от известных данных и проверяют, что знаменатель не равен нулю.
Начнём с формул двойного аргумента: cos 2a = 1 − 2sin²a и cos 2a = 2cos²a − 1. Положим a = x/2, тогда 2a = x. Получаем cos x = 1 − 2sin²(x/2) и cos x = 2cos²(x/2) − 1, откуда sin²(x/2) = (1 − cos x)/2 и cos²(x/2) = (1 + cos x)/2.
При извлечении корня нельзя автоматически писать только положительное значение. Из равенства u² = A следует u = ±√A, потому что квадраты противоположных чисел одинаковы. Поэтому знак в формулах для синуса и косинуса выбирают по четверти, в которой расположен именно угол x/2.
Для тангенса разделим формулу синуса половинного аргумента на формулу косинуса. Можно также разделить соответствующие квадраты, а затем учесть знак: tg(x/2) = ±√((1 − cos x)/(1 + cos x)). Более удобные рациональные формы получаются из тождеств sin x = 2sin(x/2)cos(x/2) и 1 + cos x = 2cos²(x/2).
Так появляются равенства tg(x/2) = sin x/(1 + cos x) и tg(x/2) = (1 − cos x)/sin x. Первая форма удобна, когда известны sin x и 1 + cos x, а вторая — когда проще использовать 1 − cos x и sin x. Котангенс получают обратным отношением: ctg(x/2) = sin x/(1 − cos x) = (1 + cos x)/sin x.
Формулы работают только там, где соответствующая функция определена и используемый знаменатель не равен нулю. Например, запись sin x/(1 + cos x) нельзя применять при cos x = −1, даже если другая форма может иметь смысл после отдельного анализа. Поэтому после выбора формулы нужно проверить ограничения и только затем вычислять.
| Функция | Основная формула | Форма через sin x и cos x | Как определить знак | Ограничения |
|---|---|---|---|---|
| sin(x/2) | ±√((1 − cos x)/2) | Через cos x | Знак sin(x/2) в четверти | Функция определена при всех x |
| cos(x/2) | ±√((1 + cos x)/2) | Через cos x | Знак cos(x/2) в четверти | Функция определена при всех x |
| tg(x/2) | ±√((1 − cos x)/(1 + cos x)) | sin x/(1 + cos x); (1 − cos x)/sin x | Знак tg(x/2) в четверти | 1 + cos x ≠ 0 или sin x ≠ 0 |
| ctg(x/2) | ±√((1 + cos x)/(1 − cos x)) | sin x/(1 − cos x); (1 + cos x)/sin x | Знак ctg(x/2) в четверти | 1 − cos x ≠ 0 или sin x ≠ 0 |
Сначала найдите положение x/2 и выберите знак, затем подставляйте известные значения. Для тангенса и котангенса выбирайте рациональную форму с удобным ненулевым знаменателем. Если используется форма с корнем, знак всё равно определяется по четверти, а не по внешнему виду радикала.
Угол π/8 является половиной угла π/4, поэтому в формуле берём x = π/4. Угол π/8 лежит в первой четверти, где синус положителен. Значит, перед корнем выбираем знак плюс.
Следовательно, sin(π/8) = √(2 − √2)/2. Положительный результат согласуется с тем, что угол находится в первой четверти. Это и есть точное значение без приближённого вычисления.
Представим 5π/12 как половину угла 5π/6, то есть возьмём x = 5π/6. Сам угол 5π/12 находится в первой четверти, поэтому косинус положителен. Для косинуса используем формулу с выражением 1 + cos x.
Ответ: cos(5π/12) = √(2 − √3)/2. Знак выбран по четверти угла 5π/12, а не по четверти исходного угла 5π/6. Это различие предотвращает ошибку со знаком.
Из условия cos x отрицателен, поэтому при x ∈ (π, 2π) угол x находится в третьей четверти. В третьей четверти sin x отрицателен, а из sin²x + cos²x = 1 получаем sin x = −4/5. Половина угла x/2 лежит во второй четверти, значит её тангенс отрицателен.
Ответ: −2. Проверка по четверти подтверждает знак: тангенс во второй четверти отрицателен. Использовать форму с знаменателем sin x тоже можно, так как sin x = −4/5 не равен нулю.
Записывают только положительный корень, забывая о двух возможных знаках. Это происходит потому, что символ √A обозначает не исходное число, а его неотрицательный модуль. Проверьте четверть угла x/2 и поставьте нужный знак перед корнем.
Определяют знак по четверти аргумента x, а не x/2. После деления аргумент может перейти в другую четверть, и знак функции изменится. Всегда сначала разделите границы промежутка для x на 2.
Путают выражения 1 − cos x и 1 + cos x в формулах синуса и косинуса. Запомните связь: sin²(x/2) содержит 1 − cos x, а cos²(x/2) — 1 + cos x. Полезно быстро восстановить её из формул двойного аргумента.
Применяют формулу для tg(x/2) или ctg(x/2), не проверив знаменатель. Нулевая величина в знаменателе делает выбранную запись недопустимой, даже если рядом есть похожая формула. Подставьте данные в знаменатель до выполнения деления.
Для вывода формул нужны формулы двойного аргумента, значения основных углов и правила знаков функций по четвертям. Формулы половинного аргумента связаны с преобразованием тригонометрических выражений и понижением степени, поскольку заменяют квадрат функции выражением с cos x. Они применяются при точном вычислении, решении тригонометрических уравнений и интегрировании.
Почему в формулах половинного аргумента нельзя сразу брать только положительный корень?
Квадратный корень при преобразовании восстанавливает модуль числа, поэтому из равенства sin²(x/2) = A следует sin(x/2) = ±√A. Знак определяется тем, положителен или отрицателен синус в четверти, где расположен x/2.
Как определить знак sin(x/2) или cos(x/2), если известен только промежуток для x?
Сначала разделите границы промежутка для x на 2 и определите, где находится x/2. Затем используйте знаки синуса и косинуса по четвертям, учитывая возможные границы, например 0, π/2, π и 3π/2.
Чем отличаются две формы формулы для tg(x/2)?
Равенства tg(x/2) = sin x/(1 + cos x) и tg(x/2) = (1 − cos x)/sin x равносильны, но требуют разных ненулевых знаменателей. Выбирайте форму, знаменатель которой проще вычислить и который точно не равен нулю.
Можно ли применять формулы половинного аргумента при x = π или x = 2π?
Формулы для sin(x/2) и cos(x/2) применять можно: они дают обычные значения. Для тангенса и котангенса нужно отдельно проверить определённость: при x = π tg(x/2) не существует, а при x = 2π не существует ctg(x/2).
Как понять, какую именно формулу выбрать для вычисления выражения?
Если известен cos x, обычно удобнее взять формулу для sin или cos через квадратный корень. Для тангенса выбирайте форму с известным ненулевым знаменателем, а знак определяйте по четверти аргумента x/2.
5. Тригонометрические функции половинного аргумента
