"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Тангенс и котангенс суммы или разности углов можно вычислять через значения этих функций для отдельных углов. Главные формулы позволяют не находить саму сумму или разность и особенно полезны при преобразовании выражений, решении уравнений и выводе формул двойного угла. Нужно помнить о знаках в знаменателях и проверять, существуют ли исходные функции и не обращается ли знаменатель в ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула тангенса суммы имеет вид: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β). Она выражает тангенс суммы через тангенсы слагаемых и применяется, если tg α и tg β существуют, а 1 − tg α · tg β ≠ 0. Последнее условие гарантирует существование тангенса суммы.
Формула тангенса разности: tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β). В числителе сохраняется порядок «уменьшаемое минус вычитаемое», а в знаменателе появляется плюс. Формула нужна, чтобы находить тангенс разности без предварительного вычисления самой разности.
Для котангенса суммы используется равенство ctg(α + β) = (ctg α · ctg β − 1) / (ctg α + ctg β). Котангенсы отдельных углов должны существовать, а ctg α + ctg β ≠ 0. Нулевой знаменатель означает, что котангенс суммы не определён.
Формула котангенса разности такова: ctg(α − β) = (ctg α · ctg β + 1) / (ctg β − ctg α). В знаменателе стоит именно ctg β − ctg α, то есть порядок обратен порядку углов в разности. Это помогает отличить формулу разности от формулы суммы и не изменить знак результата.
Начнём с формул сложения: sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β и cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β. Тангенс равен отношению синуса к косинусу, поэтому делим первое равенство на второе. После деления числитель и знаменатель можно разделить на cos α · cos β, если cos α и cos β не равны нулю.
Получаем (sin α / cos α + sin β / cos β) / (1 − (sin α / cos α) · (sin β / cos β)). Эти отношения и есть tg α и tg β, откуда следует формула тангенса суммы. Условие ненулевого знаменателя появляется потому, что деление на косинус суммы возможно только при cos(α + β) ≠ 0.
Для разности используются равенства sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β и cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β. Знак перед смешанными произведениями меняется в обеих формулах по сравнению с суммой. Поэтому после деления получается tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β), а не выражение с минусом в знаменателе.
Котангенс равен косинусу, делённому на синус, поэтому можно повторить вывод, поменяв местами роли синуса и косинуса. Другой путь — взять обратные величины у формул тангенса и преобразовать дробь. Так возникают произведение котангенсов с числом −1 для суммы и с числом +1 для разности.
Формулы требуют существования тангенсов или котангенсов отдельных углов, потому что именно эти значения подставляются в правую часть. Кроме того, знаменатель каждой полученной дроби должен быть ненулевым. Для запоминания полезно связать знаки: в формуле тангенса знак в знаменателе противоположен знаку между углами в числителе.
| Свойство | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|
| Определение через синус и косинус | tg x = sin x / cos x | ctg x = cos x / sin x |
| Область определения | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z | x ≠ πk, k ∈ Z |
| Множество значений | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Формула суммы двух углов | tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β) | ctg(α + β) = (ctg α · ctg β − 1) / (ctg α + ctg β) |
| Формула разности двух углов | tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β) | ctg(α − β) = (ctg α · ctg β + 1) / (ctg β − ctg α) |
| Условие применимости формулы суммы | tg α, tg β существуют; 1 − tg α · tg β ≠ 0 | ctg α, ctg β существуют; ctg α + ctg β ≠ 0 |
| Условие применимости формулы разности | tg α, tg β существуют; 1 + tg α · tg β ≠ 0 | ctg α, ctg β существуют; ctg β − ctg α ≠ 0 |
В таблице сначала проверяйте область определения исходных функций, а затем знаменатель нужной формулы. После этого подставляйте табличные или известные значения и сокращайте полученное выражение. Формулы тангенса и котангенса не следует смешивать: у них разные определения и разные условия существования.
Задача 1. Вычислить tg(π/4 + π/6), используя формулу тангенса суммы. Известно, что tg(π/4) = 1 и tg(π/6) = 1/√3, поэтому можно сразу работать с формулой, не складывая углы.
Ответ: tg(π/4 + π/6) = 2 + √3. Проверка знаменателя нужна до упрощения, потому что при нуле исходный тангенс суммы не существовал бы.
Задача 2. Найти ctg(π/3 − π/4), не вычисляя сначала разность углов. Используем ctg(π/3) = 1/√3 и ctg(π/4) = 1, а порядок в знаменателе формулы разности сохраняем.
Ответ: ctg(π/3 − π/4) = 2 + √3. Значение получилось без отдельного вычисления угла π/12.
Задача 3. Известно, что tg α = 2 и tg β = 1/3. Найти tg(α − β) и указать условия допустимости. Здесь достаточно подставить данные, но нельзя забывать, что сами тангенсы должны существовать.
Ответ: tg(α − β) = 1 при указанных условиях. Одних чисел 2 и 1/3 недостаточно, если не известно, что исходные тангенсы определены.
В знаменателе формулы тангенса суммы иногда пишут 1 + tg α · tg β. Так происходит из-за механического переноса знака из числителя, хотя знак определяется формулой косинуса суммы. Проверьте себя выводом через sin(α + β) / cos(α + β): в знаменателе появится минус.
Иногда формулу используют при нулевом знаменателе. Это запрещено, поскольку деление на ноль не определено, а соответствующий тангенс или котангенс суммы не существует. Перед вычислением отдельно найдите знаменатель и убедитесь, что он не равен нулю.
Формулы котангенса суммы и разности часто путают, особенно в знаменателе разности. Помните: для ctg(α − β) записывается ctg β − ctg α, то есть порядок обратен порядку углов. Полезно подставить простые обозначения и проверить, что замена α и β меняет знак результата.
Ещё одна ошибка — подстановка tg или ctg угла, где функция не определена. Тангенс нельзя брать при cos x = 0, а котангенс — при sin x = 0. Сначала проверяйте область определения каждого исходного значения, затем применяйте формулу.
До изучения темы нужны определения тангенса и котангенса, формулы сложения синуса и косинуса, а также табличные значения тригонометрических функций. Формулы суммы и разности помогают преобразовывать выражения и находить значения функций без вычисления самого угла. Позже они используются при решении тригонометрических уравнений, доказательстве тождеств и выводе формул двойного угла.
Почему в формуле тангенса суммы в знаменателе стоит разность?
При делении формулы синуса суммы на формулу косинуса суммы общий множитель cos α · cos β сокращается. В косинусе суммы появляется слагаемое −sin α · sin β, поэтому после деления знаменатель имеет вид 1 − tg α · tg β.
Можно ли применять формулу, если один из тангенсов не существует?
Нет, в таком виде формулу применять нельзя: в неё входят значения tg α и tg β, а они должны быть определены. Нужно использовать другой способ преобразования или сначала исследовать выражение непосредственно.
Как быстро запомнить формулы для котангенса суммы и разности?
В числителе всегда стоит произведение котангенсов и число 1: для суммы — «−1», для разности — «+1». В знаменателе для суммы ctg α + ctg β, а для разности порядок обратный знаку между углами: ctg β − ctg α.
Почему нулевой знаменатель запрещает использовать формулу?
Деление на ноль не определено. Кроме того, нулевой знаменатель в формуле тангенса или котангенса означает, что соответствующая функция от суммы или разности не существует.
Можно ли получить формулы двойного угла как частный случай этих формул?
Да. Если положить β = α, формула суммы превращается в формулу для tg 2α или ctg 2α. При этом условия существования функции и ненулевого знаменателя сохраняются.
2. Тангенс и котангенс суммы и разности
