"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Косинус и синус суммы или разности двух чисел нельзя найти простым сложением значений функций. Для этого используют формулы, которые выражают функцию сложного аргумента через синусы и косинусы отдельных чисел. Они помогают вычислять значения нетабличных углов, раскрывать скобки в тригонометрических выражениях и выводить формулы двойного и половинного угла. Формулы верны для любых действительных чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Косинус суммы двух чисел — это значение cos(a + b), которое находят через косинусы и синусы чисел a и b. Для него действует формула cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b. Она нужна, когда угол a + b не является табличным, но значения функций для a и b известны.
Косинус разности двух чисел — значение cos(a − b), выраженное через функции от a и b. Формула имеет вид cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b. С её помощью разность углов можно заменить более удобными произведениями.
Синус суммы двух чисел — значение sin(a + b), вычисляемое по формуле sin a · cos b + cos a · sin b. В ней участвуют два произведения, составленные из функций от обоих слагаемых. Это позволяет раскрывать аргумент суммы, не вычисляя сам угол напрямую.
Синус разности двух чисел — значение sin(a − b), равное sin a · cos b − cos a · sin b. В первом произведении сохраняется синус уменьшаемого, а во втором появляется косинус уменьшаемого. Формула полезна для преобразования выражений с разностью углов.
Нельзя просто сложить значения синусов или косинусов, потому что функция меняет число нелинейно. Например, cos 60° = ½, а cos 30° = √3/2, но их сумма не равна cos 90°. Формулы сложения учитывают взаимное влияние двух углов через произведения синусов и косинусов.
Вывести формулы можно с помощью единичной окружности, где точке, соответствующей углу, отвечают координаты (cos t, sin t). При повороте на угол b координаты точки, первоначально заданной углом a, преобразуются по правилам поворота. Первая координата новой точки становится cos(a + b), а вторая — sin(a + b), поэтому из координат сразу получаются нужные выражения.
В формуле косинуса появляются произведения cos a · cos b и sin a · sin b, потому что первая координата повёрнутой точки складывается из двух вкладов. Вклад, связанный с двумя синусами, вычитается: поворот переносит его в направление, противоположное первой координате. Поэтому у косинуса суммы стоит минус, хотя аргумент записан со знаком плюс.
В формуле синуса сначала стоит sin a · cos b, затем cos a · sin b. Эти произведения соответствуют двум составляющим второй координаты после поворота. Знак между ними совпадает со знаком в аргументе: для суммы получается плюс, а для разности — минус.
Формулы разности можно не заучивать отдельно как новые правила, а получить из формул суммы. Записываем a − b как a + (−b), после чего используем чётность косинуса cos(−b) = cos b и нечётность синуса sin(−b) = −sin b. Подстановка этих равенств автоматически меняет нужные знаки и даёт формулы для cos(a − b) и sin(a − b).
| Выражение | Формула | Правило расстановки знаков |
|---|---|---|
| cos(a + b) | cos a · cos b − sin a · sin b | косинус суммы — разность произведений |
| cos(a − b) | cos a · cos b + sin a · sin b | косинус разности — сумма произведений |
| sin(a + b) | sin a · cos b + cos a · sin b | синус суммы — сумма произведений |
| sin(a − b) | sin a · cos b − cos a · sin b | синус разности — разность произведений |
Сначала определите, какая функция стоит перед скобками, а затем выберите строку для суммы или разности. В формулах косинуса знак меняется на противоположный, а в формулах синуса сохраняется. После этого подставляйте значения функций, внимательно соблюдая порядок множителей.
Представим 75° как 45° + 30°, потому что значения синуса и косинуса этих углов известны. Требуется применить формулу косинуса суммы. Все углы заданы в градусах, поэтому единицы измерения не меняем.
Ответ: cos 75° = (√6 − √2)/4. Знак результата положительный, что согласуется с расположением угла 75° в первой четверти.
Здесь аргумент является разностью, поэтому нужна формула синуса разности. Важно не переставить множители: первый содержит sin x, а второй — cos x. Затем подставим табличные значения функций угла π/3.
Ответ: sin(x − π/3) = ½ sin x − (√3/2) cos x. Скобки раскрыты, а переменная x осталась в функциях.
Пусть cos a = 3/5, sin a = 4/5, cos b = 5/13, sin b = 12/13, а знаки этих значений соответствуют указанным четвертям. Если в условии значения даны без знаков, сначала определяем их по четвертям и только потом подставляем. Предположим, что указанные дроби уже имеют правильные знаки.
Ответ: cos(a − b) = 63/65. Если четверти меняют знаки синуса или косинуса, в вычислении нужно использовать именно эти изменённые значения.
Ошибка: заменять cos(a + b) на cos a + cos b. Её допускают, потому что переносят обычное правило раскрытия скобок на тригонометрическую функцию. Проверка: вспомните, что правильная формула содержит два произведения.
Ошибка: ставить в формулах косинуса тот же знак, что и в скобках. Причина — запоминание только слова «сумма» или «разность» без самого правила. Проверьте себя фразой: у косинуса знак противоположен знаку в аргументе.
Ошибка: путать sin a · cos b и cos a · sin b. Обычно теряется связь между первым и вторым углом. Запишите сначала функцию от первого числа, затем функцию от второго и проверьте, что в каждом произведении присутствуют оба числа.
Ошибка: неверно раскрывать выражение с отрицательным углом. Забывают, что cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x. Перед подстановкой отдельно замените функции отрицательного угла и только затем расставляйте знаки.
Для изучения формул нужны определения синуса и косинуса, единичная окружность, табличные значения функций и свойства чётности. Эти знания объясняют происхождение формул и помогают контролировать знаки. Без них вычисления превращаются в механическое заучивание.
Формулы применяют при преобразовании тригонометрических выражений и вычислении функций нетабличных углов. На их основе выводятся формулы двойного и половинного угла. Они также используются для превращения произведений в суммы и при решении тригонометрических уравнений.
Почему cos(a + b) не равен cos a + cos b?
Косинус не является линейной функцией, поэтому он не переводит сложение аргументов в сложение значений. Правильная формула содержит произведения: cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b.
Как быстро запомнить знаки в формулах косинуса суммы и разности?
У косинуса знак между произведениями противоположен знаку в скобках: для суммы стоит минус, для разности — плюс. Удобно запомнить правило: «косинус меняет знак».
Почему в формулах синуса множители расположены именно в таком порядке?
В формуле синуса сначала записывается синус первого числа и косинус второго, затем косинус первого и синус второго: sin a · cos b ± cos a · sin b. Такой порядок следует из координат точки на единичной окружности и помогает не перепутать слагаемые.
Как вывести формулу для разности из формулы для суммы?
Разность представляют как сумму: a − b = a + (−b). Затем используют cos(−b) = cos b и sin(−b) = −sin b, после чего подставляют эти значения в формулу суммы.
Можно ли применять эти формулы, если a и b заданы в радианах или градусах?
Да, формулы работают и для градусов, и для радиан. Нужно только использовать одну и ту же единицу измерения и известные значения функций в выбранной системе.
1. Косинус и синус разности и суммы двух чисел
