"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Формулы сложения выражают синус, косинус, тангенс и котангенс суммы или разности углов через значения функций этих углов. Они позволяют вычислять значения нетабличных углов, преобразовывать сложные выражения и решать тригонометрические уравнения. Из них получают формулы двойного и половинного угла, а также правила замены суммы или разности синусов и косинусов произведением. Главное — правильно учитывать знаки и допустимые значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сложения — это формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс суммы или разности двух углов через значения функций для каждого угла отдельно. Они нужны, чтобы работать с нетабличными углами и преобразовывать тригонометрические выражения.
Формулы двойного угла получают из формул сложения, если оба слагаемых одинаковы: β = α. Они связывают значения функции угла α со значением функции угла 2α и помогают раскрывать или сворачивать выражения.
Формулы половинного угла выражают синус, косинус и тангенс угла α/2 через функции угла α. Их применяют, когда известен больший угол, а найти нужно функцию от его половины.
Формулы преобразования суммы и разности заменяют сумму или разность синусов и косинусов произведением. Такая замена особенно полезна при решении уравнений, потому что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один его множитель.
Формулы сложения можно получить из геометрического представления синуса и косинуса на единичной окружности. Координаты точки, соответствующей углу, равны cos угла и sin угла. При повороте этой точки на угол β новые координаты находятся из разложения исходных горизонтальной и вертикальной составляющих, поэтому появляются произведения синусов и косинусов.
Знаки в формулах связаны со свойствами функций при замене угла на противоположный. Косинус — чётная функция: cos(−β) = cos β, а синус — нечётная: sin(−β) = −sin β. Поэтому переход от суммы α + β к разности α − β меняет знак у слагаемого с синусом β в формуле синуса, а в формуле косинуса знак в итоге становится противоположным.
Формулу тангенса получают делением формулы синуса на формулу косинуса: tg x = sin x / cos x. После деления числитель и знаменатель приводятся к выражениям через tg α и tg β. Такой вывод разрешён только там, где определены исходные тангенсы и знаменатель новой дроби не равен нулю.
Чтобы получить формулы двойного угла, в формулах сложения полагают β = α. Например, sin(α + α) = 2 sin α · cos α, а cos(α + α) = cos² α − sin² α. Используя равенство sin² α + cos² α = 1, выражение для косинуса можно записать также как 1 − 2sin² α или 2cos² α − 1.
Формулы половинного угла следуют из формул двойного угла после замены α на α/2 и последующего выражения квадрата функции. Формулы преобразования суммы в произведение получают заменой α = u + v и β = u − v, где u = (α + β)/2, v = (α − β)/2. Затем к углам u + v и u − v применяют формулы сложения и группируют одинаковые множители.
Таблица служит кратким справочником: сначала определите вид выражения, затем выберите соответствующую строку. При использовании формул тангенса проверьте область допустимых значений и знаменатель. В формулах половинного угла знак корня нельзя выбирать автоматически.
| Группа формул | Основное выражение | Условия и замечания |
|---|---|---|
| Синус суммы | sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β | Верно для любых действительных α и β |
| Синус разности | sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β | Знак перед вторым слагаемым меняется |
| Косинус суммы | cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β | Верно для любых действительных α и β |
| Косинус разности | cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β | В формуле появляется знак плюс |
| Тангенс суммы и разности | tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α · tg β) | Знаменатель не должен обращаться в нуль |
| Формулы двойного угла | sin 2α, cos 2α, tg 2α | Получаются при β = α |
| Формулы половинного угла | sin²(α/2) = (1 − cos α)/2 и cos²(α/2) = (1 + cos α)/2 | Знак корня выбирают с учётом четверти |
| Преобразование суммы синусов | sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) · cos((α − β)/2) | Сумма заменяется произведением |
| Преобразование суммы косинусов | cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) · cos((α − β)/2) | Используется аналогичная замена переменных |
Представим 15° как 45° − 30°. Оба угла табличные, поэтому применим формулы синуса и косинуса разности.
Ответ: sin 15° = (√6 − √2)/4, cos 15° = (√6 + √2)/4.
Нужно заменить функции двойного угла выражениями через sin x и cos x, а затем проверить, при каких x исходная дробь определена.
Ответ: tg x, при cos x ≠ 0.
В сумме синусов удобно выделить средний и полуразностный углы. После этого произведение обращается в нуль, если нулём становится один из множителей.
Ответ: x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π.
Одинаковый знак разности. Иногда знак минус переносят и в формулу косинуса разности, хотя там должен стоять плюс. Проверьте себя заменой β на −β и учтите чётность косинуса.
Неверная формула тангенса. Забытый знаменатель или перепутанные знаки появляются при механическом запоминании. Выведите формулу делением синуса на косинус и отдельно проверьте знак перед произведением в знаменателе.
Всегда положительный корень. Квадратная формула не сообщает знак самой функции. Определите четверть угла и только после этого выбирайте плюс или минус перед корнем.
Сокращение без проверки. Деление на sin x или cos x может исключить допустимые значения либо сделать преобразование неверным. До сокращения найдите, когда делитель равен нулю, и сравните это с ОДЗ исходного выражения.
До изучения формул нужны значения тригонометрических функций табличных углов, единичная окружность, а также понимание чётности и нечётности синуса и косинуса. Эти знания объясняют не только вычисления, но и знаки в формулах.
Формулы сложения применяются при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений. С их помощью сложные аргументы сводят к удобным углам, а суммы превращают в произведения.
Дальше эти формулы понадобятся при изучении графиков, производных и интегралов тригонометрических функций. Они позволяют выводить свойства функций и выполнять аналитические преобразования.
Как быстро не перепутать знаки в формулах синуса и косинуса?
Для синуса запомните правило: синус суммы — плюс, синус разности — минус. У косинуса наоборот: косинус суммы содержит минус, а косинус разности — плюс.
Почему в формуле косинуса разности стоит плюс?
Разность можно представить как α + (−β). Косинус чётная функция, поэтому cos(−β) = cos β, а знак минус перед произведением превращается в плюс.
Можно ли применять формулу тангенса суммы, если её знаменатель равен нулю?
Нет, делить на нуль нельзя. В такой ситуации тангенс суммы либо не определён, либо формулу нужно заменить другим способом преобразования.
Как выбрать знак корня в формуле половинного угла?
Сначала определите четверть, в которой находится угол α/2. Синус берут со знаком, соответствующим знаку синуса в этой четверти, а косинус — со знаком косинуса.
Когда выгоднее использовать формулы преобразования суммы в произведение?
Они удобны, когда в выражении есть сумма или разность синусов либо косинусов. После замены произведением часто удаётся применить формулу произведения, найти нули множителей или решить уравнение.
§ 3. Формулы сложения и их следствия
