9. Тангенсоида и котангенсоида

Определения и обозначения

Тангенс угла — это отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0. Иными словами, чтобы найти тангенс, значение синуса делят на значение косинуса. Это определение сразу показывает, в каких точках функция существует.

Котангенс угла — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0. Здесь числитель и знаменатель поменялись местами по сравнению с тангенсом. Формула нужна для вычислений по таблице и для определения области допустимых значений.

Тангенсоида — график функции y = tg x с вертикальными асимптотами и повторяющимися ветвями. Асимптота — прямая, к которой график приближается, но не пересекает её в конечной точке функции. По виду ветвей можно определить значения, знаки и поведение тангенса.

Котангенсоида — график функции y = ctg x, состоящий из повторяющихся убывающих ветвей. Как и тангенсоида, она имеет вертикальные асимптоты в точках разрыва функции. Такой график помогает решать уравнения и неравенства геометрически.

Как это устроено

Область определения следует из знаменателя дроби. В выражении tg x = sin x / cos x нельзя допускать cos x = 0, а косинус равен нулю при x = π/2 + πk. В выражении ctg x = cos x / sin x запрещены точки sin x = 0, то есть x = πk.

Период обеих функций равен π, хотя синус и косинус по отдельности имеют период 2π. При сдвиге на π выполняются равенства sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. Два минуса в отношении сокращаются, поэтому tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x.

Основные значения получают по единичной окружности, где координаты точки равны cos x и sin x. Например, при x = π/4 обе координаты равны √2/2, поэтому tg(π/4) = 1 и ctg(π/4) = 1. При π/3 имеем sin x = √3/2 и cos x = 1/2, значит tg(π/3) = √3, а ctg(π/3) = 1/√3.

Вертикальные асимптоты появляются там, где знаменатель обращается в ноль: у тангенса это x = π/2 + πk, у котангенса — x = πk. При приближении к асимптоте значение функции по модулю становится сколь угодно большим. Тангенс на каждой своей ветви возрастает от −∞ до +∞, потому что его значения последовательно проходят все действительные числа; котангенс на каждой ветви убывает от +∞ до −∞.

Свойства функций y = tg x и y = ctg x

В таблице сначала ищите область определения и асимптоты: они показывают, на каких промежутках рассматривается график. Затем используйте период, нули и направление монотонности, чтобы восстановить остальные ветви. Обозначение k ∈ Z означает, что вместо k можно подставить любое целое число.

Разбор задач

Задача 1. Вычисление значений

Вычислить tg(−π/4), ctg(π/3), tg(π) и ctg(π/2). Все углы являются табличными, поэтому достаточно определить синус и косинус и подставить их в определения функций.

1. Так как tg(π/4) = 1, а тангенс нечётный, tg(−π/4) = −1.
2. Для π/3: ctg(π/3) = cos(π/3) / sin(π/3) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3.
3. При x = π синус равен нулю, поэтому tg(π) = 0 / (−1) = 0.
4. При x = π/2 косинус равен нулю, а синус равен 1, поэтому ctg(π/2) = 0.

Ответ: −1; 1/√3; 0; 0.

Задача 2. Уравнение tg x = √3

Решить уравнение на промежутке [−π; 2π]. Значение √3 тангенс принимает при базовом угле π/3, а период функции равен π. Поэтому общее решение нужно записать как x = π/3 + πk и затем отобрать подходящие целые k.

1. Подставляем k = −1: x = −2π/3, это число принадлежит заданному промежутку.
2. При k = 0 получаем x = π/3.
3. При k = 1 получаем x = 4π/3, а при k = 2 — x = 7π/3, что уже больше 2π.

Ответ: x = −2π/3, π/3, 4π/3.

Задача 3. Неравенство ctg x ≤ 1

Решить неравенство на промежутке (0; 2π). Котангенс равен 1 при x = π/4 + πk, а на каждой ветви убывает. Точки x = π и x = 2π не входят в область определения и разделяют рассматриваемый промежуток.

1. На ветви (0; π) равенство ctg x = 1 достигается при x = π/4. Из убывания следует ctg x ≤ 1 при x ∈ [π/4; π).
2. На ветви (π; 2π) равенство достигается при x = 5π/4. Поэтому здесь решение имеет вид x ∈ [5π/4; 2π).
3. Объединяем решения двух ветвей, не включая точки разрыва.

Ответ: x ∈ [π/4; π) ∪ [5π/4; 2π).

Типичные ошибки

Указывать область определения тангенса как все действительные числа — ошибка, потому что деление на ноль невозможно. Её допускают, когда помнят только периодичность функции. Проверьте себя: выпишите условие cos x ≠ 0 и исключите x = π/2 + πk.

Считать периодом тангенса 2π по аналогии с синусом неверно. При сдвиге на π и синус, и косинус меняют знак, поэтому отношение уже повторяется. Для проверки вычислите значения при x и x + π и сравните их.

Нельзя путать асимптоты двух функций. У тангенса знаменатель косинус, поэтому асимптоты имеют вид x = π/2 + πk, а у котангенса знаменатель синус и асимптоты x = πk. Самопроверка проста: приравняйте к нулю именно знаменатель своей дроби.

Считать обе функции возрастающими тоже неправильно. Тангенс возрастает на каждой ветви, а котангенс убывает, поскольку его ветви направлены сверху вниз. Посмотрите на значения слева направо между соседними асимптотами.

Связь с другими темами

Для изучения тангенса и котангенса нужны единичная окружность, таблица значений синуса и косинуса, знаки функций по четвертям и основные тригонометрические тождества. Эти знания позволяют вычислять значения без запоминания лишних формул.

Тема используется при решении тригонометрических уравнений и неравенств, построении графиков и изучении производных. Свойства тангенсоиды и котангенсоиды помогают исследовать функции, в которых аргумент преобразован, например tg(2x − π/3) или ctg(x/2).

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x.
• Тангенс не определён при x = π/2 + πk.
• Котангенс не определён при x = πk.
• Обе функции имеют множество значений R и наименьший положительный период π.
• Тангенс — нечётная возрастающая функция на каждом промежутке между асимптотами.
• Котангенс — нечётная убывающая функция на каждом промежутке между асимптотами.
• Нули тангенса имеют вид x = πk, а нули котангенса — x = π/2 + πk.