8. Тангенс и котангенс числового аргумента

Определения и обозначения

Числовой аргумент — действительное число x, которому по правилам тригонометрии ставятся в соответствие значения функций. Он может быть задан в радианах, например π/3, или обычным действительным числом. Аргумент показывает, на какой угол поворачивается радиус единичной окружности.

Тангенс числового аргумента — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Оно определено только при cos x ≠ 0. Тангенс помогает заменить два тригонометрических значения одним отношением.

Котангенс числового аргумента — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. Поэтому ctg x существует лишь при sin x ≠ 0. Тангенс и котангенс являются взаимно обратными только там, где обе функции определены: ctg x = 1/tg x.

Функции тангенса и котангенса — зависимости y = tg x и y = ctg x с заданными областями определения. Для них изучают значения, нули, периодичность и монотонность. Эти свойства позволяют строить графики и решать уравнения.

Как это устроено

Возьмём единичную окружность и отметим точку, полученную поворотом радиуса на угол x. Её координаты равны (cos x; sin x): абсцисса даёт косинус, а ордината — синус. Поэтому отношение координат приводит к формулам tg x = sin x/cos x и ctg x = cos x/sin x.

Деление возможно только на ненулевое число. Косинус равен нулю в точках x = π/2 + πk, поэтому в них не существует тангенс. Синус обращается в ноль при x = πk, и именно в этих точках не существует котангенс: знаменатель отношения нельзя заменить нулём.

Обе функции принимают все действительные значения. Например, на дуге (−π/2; π/2) тангенс непрерывно возрастает от очень больших отрицательных значений к очень большим положительным, проходя через каждое число. На каждом промежутке (0; π) котангенс убывает от положительных бесконечно больших значений к отрицательным, поэтому его область значений также равна всем действительным числам.

Период равен π, потому что при повороте на π точка единичной окружности переходит в противоположную: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. В отношении эти два минуса сокращаются, значит, tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Сдвиг на 2π тоже сохраняет значения, но π является наименьшим положительным периодом.

Для построения графика достаточно изобразить один основной промежуток, повторить его через π и учесть нечётность функций. У тангенса вертикальные асимптоты находятся в точках π/2 + πk, а у котангенса — в точках πk; к ним графики приближаются, но не пересекают их. При увеличении x тангенс возрастает на каждом промежутке определения, а котангенс убывает.

Свойства функций y = tg x и y = ctg x

Таблица позволяет быстро проверить, допустимо ли значение аргумента, определить знак функции и выбрать формулу для решения уравнения. В строке о промежутках нужно помнить, что речь идёт о каждом отдельном промежутке области определения, а не обо всей числовой прямой сразу.

Разбор задач

Задача 1

Вычислить tg(5π/6) и ctg(3π/4), используя значения тригонометрических функций на основных углах. Оба угла лежат во II четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому отношения будут отрицательными.

1. Для 5π/6 используем sin(5π/6) = ½ и cos(5π/6) = −√3/2.
2. Получаем tg(5π/6) = (½)/(−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
3. Для 3π/4 имеем cos(3π/4) = −√2/2 и sin(3π/4) = √2/2.
4. Тогда ctg(3π/4) = (−√2/2)/(√2/2) = −1.

Ответ: tg(5π/6) = −√3/3, ctg(3π/4) = −1.

Задача 2

Решить уравнение tg x = −√3 на отрезке [0; 2π]. Табличный угол с модулем тангенса √3 равен π/3, а отрицательный знак означает II или IV четверть.

1. Общее решение можно записать как x = −π/3 + πk, k ∈ Z.
2. На отрезке [0; 2π] подходят значения при k = 1 и k = 2.
3. Они дают x = 2π/3 и x = 5π/3.

Ответ: x = 2π/3; 5π/3.

Задача 3

Решить уравнение tg x + ctg x = 2 на промежутке (0; 2π). Сначала исключим точки, где хотя бы одна функция не определена, а затем заменим котангенс обратным тангенсу отношением.

1. Область допустимых значений: sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0, то есть x ≠ πk и x ≠ π/2 + πk.
2. Положим t = tg x, тогда t ≠ 0 и t + 1/t = 2.
3. Умножаем на t: t² − 2t + 1 = 0, откуда (t − 1)² = 0 и t = 1.
4. Решение tg x = 1 имеет вид x = π/4 + πk. На заданном промежутке получаем π/4 и 5π/4, и обе точки допустимы.

Ответ: x = π/4; 5π/4.

Типичные ошибки

Ошибка: записать tg x = cos x/sin x или ctg x = sin x/cos x. Так происходит из-за смешения взаимно обратных отношений. Проверь себя по правилу: у тангенса в числителе синус, а у котангенса — косинус.

Ошибка: считать период обеих функций равным 2π. Периоды синуса и косинуса переносят на отношение, не замечая, что при сдвиге на π оба значения меняют знак. Проверь равенство tg(x + π) = tg x на любом допустимом x.

Ошибка: включать в область определения точки x = π/2 + πk для тангенса или x = πk для котангенса. Причина — проверяют только вид аргумента, а не знаменатель дроби. Подставь такую точку в формулу и выясни, не делишь ли ты на ноль.

Ошибка: при уравнении с котангенсом забывать ограничения на x. После преобразований могут появиться корни, для которых sin x = 0 или другая функция не определена. Сначала запиши ОДЗ, а в конце проверь каждый найденный корень.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны единичная окружность, радианная мера угла, значения синуса и косинуса, формулы приведения и их периодичность. Без этих знаний трудно определить знаки и получить табличные значения тангенса и котангенса.

Новые функции применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Их графики помогают находить промежутки знакопостоянства, сравнивать значения и читать свойства функций.

Позже свойства тангенса и котангенса понадобятся при изучении производных, первообразных и преобразований тригонометрических выражений. Знание области определения особенно важно при таких преобразованиях.

Что запомнить

• tg x = sin x/cos x, а ctg x = cos x/sin x.
• Тангенс не определён при x = π/2 + πk, котангенс — при x = πk.
• Область значений и тангенса, и котангенса — все действительные числа.
• Период обеих функций равен π.
• Обе функции нечётные.
• tg x возрастает на каждом промежутке области определения, ctg x убывает.
• Нули тангенса: x = πk; котангенс нулей не имеет.