1.3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Определения и обозначения

Синус и косинус угла α можно понимать как координаты точки на единичной окружности: cos α — абсцисса, sin α — ордината. Для любого α выполняется равенство sin²α + cos²α = 1. Оно позволяет находить одну из этих функций, если известна другая, но знак результата нужно определять отдельно.

Тангенсом угла α называют отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Иными словами, тангенс показывает, во сколько раз синус больше или меньше косинуса с учётом знаков. Это определение помогает выразить тангенс через уже известные значения синуса и косинуса.

Котангенсом угла α называют отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0. Это отношение обратно отношению, задающему тангенс. Оно полезно, когда известны косинус и синус или нужно преобразовать выражение с котангенсом.

Равенство sin²α + cos²α = 1 называют основным тригонометрическим тождеством. Слово «тождество» означает равенство, верное при всех допустимых значениях переменной; здесь оно справедливо для любого угла. Это базовая связь, из которой получают многие формулы для функций одного угла.

Как это устроено

Возьмём точку на единичной окружности, соответствующую углу α. Её координаты равны cos α и sin α, а уравнение окружности радиуса 1 имеет вид x² + y² = 1. Подстановка координат даёт cos²α + sin²α = 1, поэтому основное тождество выполняется для любого угла, а не только для углов прямоугольного треугольника.

Формулы tg α = sin α / cos α и ctg α = cos α / sin α непосредственно следуют из определений этих функций как отношений. В первой дроби нельзя делить на ноль, поэтому тангенс существует только при cos α ≠ 0; во второй требуется sin α ≠ 0. На единичной окружности это означает: тангенс не определён при α = π/2 + πk, а котангенс — при α = πk, где k ∈ Z.

Перемножим определения тангенса и котангенса: (sin α / cos α) · (cos α / sin α) = 1. Сокращение возможно, только если sin α и cos α не равны нулю, то есть обе функции определены. Поэтому тангенс и котангенс одного угла являются взаимно обратными величинами: каждая равна единице, делённой на другую.

Чтобы вывести тождество для тангенса, разделим sin²α + cos²α = 1 на cos²α. При cos α ≠ 0 получим tg²α + 1 = 1 / cos²α. Если разделить исходное равенство на sin²α, при sin α ≠ 0 выйдет ctg²α + 1 = 1 / sin²α. Ограничения здесь необходимы: делить на ноль нельзя, даже если формула получена из верного тождества.

Если известен синус, из основного тождества можно найти cos²α = 1 − sin²α, а затем извлечь корень; для тангенса и котангенса применяют формулы отношений. Например, если известны синус и косинус, их отношение сразу даёт тангенс. При выборе знака синуса или косинуса учитывают четверть: одних квадратов функции для определения знака недостаточно.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного угла

В таблице собраны основные формулы и условия, при которых их можно применять. Перед подстановкой значений проверьте, что знаменатель не равен нулю; для формулы с тангенсом или котангенсом также учитывайте область определения соответствующей функции.

Разбор задач

Задача 1. Известно, что sin α = 3/5 и угол α лежит во II четверти. Найдите cos α, tg α и ctg α.

1. Из основного тождества получаем cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, поэтому cos α = ±4/5.
2. Во II четверти косинус отрицателен, значит cos α = −4/5. Здесь знак выбираем по четверти, а не произвольно.
3. Подставляем значения в определения: tg α = (3/5) / (−4/5) = −3/4, ctg α = (−4/5) / (3/5) = −4/3.

Ответ: cos α = −4/5, tg α = −3/4, ctg α = −4/3.

Задача 2. Упростите выражение (1 − cos²α) / sin α при sin α ≠ 0.

1. По основному тождеству 1 − cos²α = sin²α. Поэтому выражение можно переписать как sin²α / sin α.
2. Сокращаем числитель и знаменатель на sin α. Условие задачи гарантирует, что это число не равно нулю и сокращение допустимо.

Ответ: sin α.

Задача 3. Известно, что tg α = −2 и cos α > 0. Найдите sin α и cos α.

1. Из 1 + tg²α = 1 / cos²α получаем 1 + 4 = 1 / cos²α, значит cos²α = 1/5.
2. Так как cos α > 0, берём положительный корень: cos α = 1/√5. Отношение tg α = sin α / cos α даёт sin α = tg α · cos α.
3. Подставляем найденный косинус: sin α = −2 · 1/√5 = −2/√5. Отрицательный синус согласуется с тем, что при положительном косинусе и отрицательном тангенсе угол находится в IV четверти.

Ответ: sin α = −2/√5, cos α = 1/√5.

Типичные ошибки

Некоторые читают sin²α + cos²α = 1 как sin α + cos α = 1. Но квадрат относится к значению каждой функции отдельно, а не к их сумме. Проверка простая: возведите синус и косинус в квадрат и только затем сложите; например, при α = 0 сумма самих функций равна 1, но это не делает неверную запись тождеством.

Подстановка в формулу тангенса или котангенса без проверки знаменателя может привести к делению на ноль. Так бывает, если ученик помнит саму дробь, но забывает область определения функции. Перед вычислением проверьте cos α ≠ 0 для тангенса и sin α ≠ 0 для котангенса.

Извлекая корень из равенства квадратов, иногда сразу оставляют только положительное значение. Однако √(cos²α) даёт |cos α|, а сама функция может быть отрицательной. Установите четверть угла и по ней выберите знак; затем проверьте, соответствует ли результат знакам остальных известных функций.

Сокращать дробь или делить равенство на sin α либо cos α без условия нельзя: при нулевом значении такое действие недопустимо. Ошибку часто вызывает стремление сразу упростить выражение, не рассмотрев особый случай. До сокращения выясните, может ли сокращаемая функция обратиться в ноль, и используйте данное условие или отдельно разберите этот случай.

Связь с другими темами

Для работы с соотношениями нужны определения синуса и косинуса, представление об единичной окружности и знание знаков функций по четвертям. Также пригодятся правила преобразования дробей: именно деление и сокращение требуют проверки знаменателя. Если эти основы понятны, формулы можно не заучивать отдельно, а выводить из определений и основного тождества.

Эти равенства используют при упрощении тригонометрических выражений и вычислении значений функций по известным данным. Они также помогают преобразовывать уравнения: например, заменять квадраты синуса и косинуса выражением через другую функцию. При этом ограничения на знаменатели сохраняют и в преобразованном выражении.

Что запомнить

• sin²α + cos²α = 1 для любого угла α.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• tg α · ctg α = 1, когда обе функции определены.
• 1 + tg²α = 1 / cos²α при cos α ≠ 0.
• 1 + ctg²α = 1 / sin²α при sin α ≠ 0.
• Знак найденной функции нужно определять с учётом четверти угла.