1.2. Тригонометрические функции угла и их основные свойства

Определения и обозначения

Синус угла α — ордината точки единичной окружности, соответствующей углу; обозначение — sin α. Ордината — это вторая координата точки, то есть её положение по вертикали. Поэтому синус помогает описать вертикальную составляющую направления, заданного углом.

Косинус угла α — абсцисса соответствующей точки единичной окружности; обозначение — cos α. Абсцисса — первая координата, показывающая положение точки по горизонтали. Косинус нужен, когда требуется выразить горизонтальную составляющую направления или связать угол с координатами.

Тангенс угла — отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Деление позволяет сравнить вертикальную и горизонтальную координаты точки. Тангенс используют для описания наклона прямой, но он не существует, если знаменатель отношения равен нулю.

Котангенс угла — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0. Он сравнивает горизонтальную координату с вертикальной и обратен тангенсу там, где обе функции определены. Условие sin α ≠ 0 необходимо, потому что на ноль делить нельзя.

Как это устроено

Чтобы сопоставить углу точку окружности, откладывают угол от положительного направления оси x: положительный поворот идёт против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Конец радиуса оказывается на окружности, и его координаты определяются углом поворота. Радиус равен 1, поэтому координаты сразу дают косинус и синус, без дополнительного деления на длину радиуса. Так геометрическое положение точки превращается в значения функций.

Тангенс и котангенс строятся из тех же координат как отношения двух составляющих. Если cos α = 0, дробь sin α / cos α не имеет смысла; такое случается в точках на вертикальной оси. Если sin α = 0, нельзя вычислить cos α / sin α; эти точки лежат на горизонтальной оси. Поэтому ограничения областей определения следуют не из условности записи, а из запрета делить на ноль.

В I четверти обе координаты положительны. Во II четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна; в III обе отрицательны; в IV абсцисса положительна, ордината отрицательна. Это сразу задаёт знаки косинуса и синуса. Знак тангенса и котангенса находят по отношению этих знаков: если они одинаковы, отношение положительно, если различны — отрицательно.

Поворот на 2π — полный оборот, поэтому точка возвращается в исходное положение и её координаты повторяются. Значит, синус и косинус сохраняют значения при добавлении 2π. Поворот на π меняет обе координаты на противоположные, но отношение двух координат остаётся прежним; отсюда период π у тангенса и котангенса. Меньший положительный период синуса и косинуса равен 2π, а тангенса и котангенса — π.

Отражение точки относительно оси x сохраняет абсциссу и меняет знак ординаты, поэтому cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x. Отношение нечётных и чётных координат показывает, что tg(−x) = −tg x и ctg(−x) = −ctg x, если значения определены. Координаты точки также удовлетворяют уравнению окружности x² + y² = 1, откуда sin² α + cos² α = 1. Эта модель объясняет и основные границы значений: координаты точки единичной окружности не могут быть больше 1 или меньше −1.

Основные свойства тригонометрических функций угла

В формулах таблицы k — любое целое число, а R — множество действительных чисел. Чтобы определить значение функции при конкретном угле, сначала проверьте, входит ли угол в область определения, а затем найдите его четверть или положение на окружности. Для тангенса и котангенса знак удобно получать из знаков синуса и косинуса.

Разбор задач

Задача 1. Точка единичной окружности соответствует углу α и имеет координаты (−3/5; 4/5). Найдите sin α и cos α. Важно не перепутать порядок координат: сначала записана абсцисса, затем ордината. Каждая из них напрямую задаёт одну из двух функций.

1. По определению косинус равен абсциссе точки, поэтому cos α = −3/5.
2. Синус равен ординате, поэтому sin α = 4/5.
3. Проверим согласованность координат с единичной окружностью: (−3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1.

Ответ: sin α = 4/5, cos α = −3/5. Отрицательная абсцисса и положительная ордината также показывают, что точка находится во II четверти.

Задача 2. Не вычисляя значения функций, определите знаки sin 5π/6, cos 5π/6, tg 5π/6 и ctg 5π/6. Угол 5π/6 больше π/2, но меньше π, следовательно, его конечная сторона попадает во II четверть. По координатам точки во II четверти можно определить знаки двух основных функций, а для остальных использовать их отношения.

1. Во II четверти ордината положительна, значит sin 5π/6 > 0.
2. Абсцисса во II четверти отрицательна, значит cos 5π/6 < 0.
3. Тангенс — отношение положительного синуса к отрицательному косинусу, поэтому tg 5π/6 < 0.
4. Котангенс — отношение отрицательного косинуса к положительному синусу, поэтому ctg 5π/6 < 0.

Ответ: синус положителен, косинус отрицателен, тангенс и котангенс отрицательны. Вычислять точные значения угла для определения знаков не требовалось.

Задача 3. Найдите область определения и период функции f(x) = tg(2x) + ctg(x − π/4). В сумме должны быть определены оба слагаемых, поэтому сначала выпишем запреты отдельно. Затем выберем общий период, при котором повторяются оба слагаемых.

1. Для tg(2x) нужно, чтобы cos(2x) ≠ 0. Запрет возникает при 2x = π/2 + πk, то есть x = π/4 + πk/2.
2. Для ctg(x − π/4) нужно, чтобы sin(x − π/4) ≠ 0. Поэтому x − π/4 ≠ πk, или x ≠ π/4 + πk.
3. Запреты второго слагаемого уже входят в запреты первого: при целом k значение π/4 + πk получается из π/4 + πk/2. Значит, область определения: x ∈ R, x ≠ π/4 + πk/2, k ∈ Z.
4. Период tg(2x) равен π/2, а ctg(x − π/4) имеет период π. Общий период равен π; меньший общий положительный период для суммы — π.

Ответ: D(f) = {x ∈ R: x ≠ π/4 + πk/2, k ∈ Z}; период функции — π.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что тангенс и котангенс определены при любом угле. Обычно забывают, что в формулах есть знаменатель, который может оказаться нулём. Проверка: для tg выясните, не равен ли cos x нулю, а для ctg — не равен ли нулю sin x; запишите исключаемые углы.

Ошибка — приписывать синусу или косинусу период π. Их значения после поворота на π меняют знак, поэтому не повторяются; привычка возникает из-за периода тангенса. Проверяйте период подстановкой: sin(x + π) = −sin x, а cos(x + π) = −cos x, тогда как после 2π значения возвращаются.

Ошибка — путать чётность функций. Косинус при замене x на −x сохраняет значение, а синус, тангенс и котангенс меняют знак; путаница часто появляется, если заучивать свойства без сравнения точек на окружности. Для проверки подставьте −x в формулу или представьте отражение точки относительно оси x.

Ошибка — определять знак тангенса только по синусу или только по косинусу. Тангенс является их отношением, и его знак зависит сразу от обоих чисел; та же проверка относится к котангенсу. Перед выводом запишите два знака отдельно, затем примените правило знаков дроби.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны координаты точки на окружности, радианная мера угла и умение определять четверть координатной плоскости. Единичная окружность позволяет находить значения тригонометрических функций и преобразовывать выражения, потому что функции связаны с координатами и между собой. Позже их свойства и графики понадобятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также при изучении производных.

Что запомнить

• На единичной окружности cos α — абсцисса точки, sin α — ордината.
• tg α = sin α / cos α при cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α при sin α ≠ 0.
• Синус и косинус имеют период 2π; тангенс и котангенс — период π.
• Косинус — чётная функция; синус, тангенс и котангенс — нечётные.
• Для всех углов sin² α + cos² α = 1.