"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
При замене угла α на противоположный угол −α синус и тангенс меняют знак, а косинус остаётся прежним. Эти правила следуют из симметрии точек на единичной окружности и помогают быстро вычислять значения функций, упрощать выражения и решать уравнения с отрицательными аргументами. Главное — запомнить три формулы и учитывать, что тангенс существует не для каждого угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус противоположного угла задаётся формулой sin(−α) = −sin α. Здесь α — произвольный угол, а −α — угол той же величины, но противоположного направления. Формула означает, что при замене аргумента знак значения синуса меняется на противоположный. Это правило позволяет находить синус отрицательного угла, если известен синус положительного.
Косинус противоположного угла выражается равенством cos(−α) = cos α. Значение функции остаётся тем же, даже если направление поворота меняется на обратное. Такое свойство называют чётностью функции: у косинуса противоположные аргументы дают одинаковые значения. Оно удобно, когда в выражении встречается косинус отрицательного угла.
Тангенс противоположного угла связан с исходным равенством tg(−α) = −tg α. Тангенс — это отношение синуса угла к его косинусу, поэтому знак зависит от изменения этих двух функций. Равенство применимо только тогда, когда оба тангенса определены, то есть cos α ≠ 0. Иначе выражение не имеет значения, и пользоваться формулой нельзя.
Представим угол на единичной окружности — окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Положительный угол отсчитывают против часовой стрелки, а отрицательный — по часовой. Поэтому поворот на α и поворот на −α приводят к точкам, зеркально расположенным относительно горизонтальной оси Ox. При зеркальном отражении горизонтальное положение точки сохраняется, а вертикальное меняется на противоположное.
Косинус угла на единичной окружности равен абсциссе соответствующей точки. Абсцисса показывает, насколько далеко точка находится вправо или влево от вертикальной оси. У симметричных относительно Ox точек эта координата одна и та же, потому что отражение происходит вверх или вниз, но не влево или вправо. Поэтому cos(−α) = cos α.
Синус угла равен ординате точки, то есть её координате по вертикали. При отражении относительно Ox точка, находившаяся выше оси, оказывается на таком же расстоянии ниже неё, и наоборот. Значит, ординаты отличаются только знаком, что и даёт sin(−α) = −sin α. Синус называют нечётной функцией, когда для противоположных аргументов выполняется такое равенство.
Тангенс можно выразить через синус и косинус: tg α = sin α / cos α. При переходе к −α синус меняет знак, а косинус сохраняет его, поэтому всё отношение меняет знак. Отсюда получается tg(−α) = −tg α, если деление возможно. Тангенс называют нечётной функцией по той же причине, что и синус.
Эти соотношения действуют для углов и в градусах, и в радианах: меняется способ записи величины, но не геометрический смысл поворота. Однако у тангенса есть ограничение: он не определён, когда cos α = 0, то есть при α = π/2 + πk, где k — целое число. В этих случаях знаменатель отношения sin α / cos α равен нулю. Поэтому перед преобразованием с тангенсом следует проверить допустимость угла.
| Функция | Связь значений | Характер изменения | Ограничение |
|---|---|---|---|
| Синус | sin(−α) = −sin α | Меняет знак | Ограничений нет |
| Косинус | cos(−α) = cos α | Не меняется | Ограничений нет |
| Тангенс | tg(−α) = −tg α | Меняет знак | Оба выражения определены при cos α ≠ 0 |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определите, какая функция стоит в выражении, а затем замените аргумент −α по нужной формуле. Для синуса и тангенса поставьте минус перед функцией от α, а косинус оставьте без изменения. Если встретился тангенс, проверьте, что косинус угла не равен нулю.
Задача 1. Найти sin(−30°), cos(−60°) и tg(−45°), используя известные значения функций для положительных углов. Сначала нужно определить, какие функции меняют знак, а какая сохраняет значение. Затем подставить стандартные значения для углов 30°, 60° и 45°. Все три угла допустимы для тангенса.
Ответ: −½, ½, −1 соответственно. Полезно сначала определить знак по формуле, а уже потом подставлять числовое значение функции.
Задача 2. Упростить выражение cos(−x) + sin(−x) − tg(−x). Здесь аргумент каждой функции отрицательный, поэтому преобразуем все три слагаемых по отдельности. После замены важно внимательно учесть знак перед тангенсом, который уже стоит в исходном выражении.
Ответ: cos x − sin x + tg x, при условии, что tg x определён. Проверка знака полезна: минус перед исходным тангенсом нельзя потерять при замене.
Задача 3. Решить уравнение sin(−x) = cos x на промежутке [−π; π]. Сначала уберём отрицательный аргумент, чтобы получить уравнение с обычным синусом. Затем найдём все его решения и оставим только те, которые лежат на заданном промежутке. Границы промежутка тоже нужно проверить.
Ответ: x = −π/4 и x = 3π/4. Проверка на промежутке необходима, потому что общее решение содержит бесконечно много значений.
Ошибка: записывать sin(−α) = sin α. Её допускают, если путают синус с косинусом или забывают, что синус — это ордината точки. При отражении относительно Ox ордината меняет знак, поэтому в формуле перед sin α должен стоять минус. Проверить себя можно на угле 30°: sin(−30°) = −½, а не ½.
Ошибка: считать, что cos(−α) = −cos α. Обычно так переносят на косинус свойство синуса, хотя у косинуса другая координатная роль. Косинус равен абсциссе, которая при отражении относительно Ox не меняется. Для проверки возьмите α = 60°: оба значения косинуса равны ½.
Ошибка: оставлять тангенс без изменения, записывая tg(−α) = tg α. Поскольку тангенс — отношение синуса к косинусу, смена знака синуса при неизменном косинусе меняет знак всего отношения. Проверьте формулу на α = 45°: tg(−45°) = −1, тогда как tg 45° = 1. Значит, перед tg α нужен минус.
Ошибка: применять формулу для тангенса при α = π/2 + πk. В таких случаях cos α = 0, а значит, в отношении sin α / cos α возникает деление на ноль. Формула не превращает несуществующий тангенс в допустимое значение. Перед вычислением проверьте, что угол не относится к этому набору; например, tg(π/2) не определён.
Для понимания этих формул нужно знать определения синуса, косинуса и тангенса, а также уметь отмечать углы на единичной окружности. Свойства противоположных аргументов помогают упрощать тригонометрические выражения и решать уравнения, в которых встречаются отрицательные углы. Они также связаны с чётными и нечётными функциями: косинус чётный, а синус и тангенс нечётные. Эти свойства видны и на графиках функций.
Почему синус отрицательного угла отрицателен?
Точки углов α и −α на единичной окружности симметричны относительно оси Ox. Их ординаты имеют противоположные знаки, а синус равен ординате точки. Поэтому sin(−α) = −sin α; при этом сам синус не всегда отрицателен — его знак зависит от угла α.
Почему косинус углов α и −α одинаков?
Косинус — это абсцисса точки на единичной окружности. При отражении точки относительно оси Ox её абсцисса не меняется, поэтому cos(−α) = cos α.
Как меняется тангенс при замене угла на противоположный?
Тангенс противоположного угла равен тангенсу исходного угла с противоположным знаком: tg(−α) = −tg α. Это следует из отношения синуса к косинусу: числитель меняет знак, а знаменатель остаётся прежним.
Всегда ли можно применить формулу tg(−α) = −tg α?
Формула применима, когда тангенс определён для обоих углов. Это условие выполняется при cos α ≠ 0, то есть если α ≠ π/2 + πk, где k — целое число. В этих точках делить синус на косинус нельзя.
Как использовать формулы для углов α и −α при упрощении выражения?
Замените каждую функцию от −α соответствующей функцией от α: синус и тангенс возьмите с минусом, а косинус — без изменения. Затем раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Отдельно проверьте, определён ли тангенс.
Синус, косинус и тангенс углов ? и -?
