Тригонометрические тождества

Определения и обозначения

Тригонометрическое тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него углов. Допустимыми называют те углы, при которых выражения с обеих сторон равенства определены. Например, равенство может не иметь смысла, если в его записи есть деление на ноль. Понимание этого условия помогает не принять запрещённое значение угла за подходящее.

Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1, связывающее синус и косинус одного угла. Запись sin² α означает (sin α)², а не синус угла α². По этому равенству можно найти квадрат одной функции, если известно значение другой. Оно также служит основой для получения других тригонометрических формул.

Тождество тангенса и котангенса — равенства tg α = sin α / cos α и ctg α = cos α / sin α, верные там, где знаменатели не равны нулю. Тангенс выражается отношением синуса к косинусу, а котангенс — обратным отношением. Эти формулы позволяют заменить одну функцию другими и удобны при упрощении выражений. Условия на знаменатели сразу показывают, при каких углах замена допустима.

Тождества для тангенса и котангенса — равенства 1 + tg² α = 1 / cos² α и 1 + ctg² α = 1 / sin² α при допустимых значениях угла. Первое применимо, когда cos α ≠ 0, второе — когда sin α ≠ 0. С их помощью выражения с квадратами тангенса или котангенса можно представить через синус или косинус. Ограничения здесь нужны потому, что сами тангенс и котангенс являются дробями.

Как это устроено

Представим угол α на единичной окружности, то есть окружности с радиусом 1 и центром в начале координат. Координаты соответствующей точки равны cos α и sin α. Любая точка окружности удовлетворяет уравнению x² + y² = 1, потому что расстояние от неё до начала координат равно единице. Подставив координаты вместо x и y, получаем sin² α + cos² α = 1; поэтому равенство выполняется для любого угла.

Чтобы получить формулу с тангенсом, разделим обе части основного тождества на cos² α. Левая часть станет sin² α / cos² α + 1, а первая дробь равна tg² α по определению тангенса. Справа получится 1 / cos² α, значит, 1 + tg² α = 1 / cos² α. Деление возможно только при cos α ≠ 0: если косинус равен нулю, исходная дробь и тангенс не определены.

Формула для котангенса выводится похожим образом, но основное тождество делят на sin² α. Тогда cos² α / sin² α превращается в ctg² α, а единица после деления становится 1 / sin² α. Так получается 1 + ctg² α = 1 / sin² α. Синус должен быть отличен от нуля, иначе деление и котангенс не имеют смысла.

Равенства tg α = sin α / cos α и ctg α = cos α / sin α следуют из определений тангенса и котангенса через координаты точки единичной окружности. Они дают способ перейти от одной тригонометрической функции к двум другим. Например, если известны синус и косинус, отношение этих чисел сразу даёт тангенс. При такой замене нужно проверять знаменатель: выражение с нулевым знаменателем не определено.

Тождества применяют, когда нужно вычислить значение функции, выразить неизвестную функцию через известную или преобразовать выражение. Например, из основного тождества можно получить cos² α = 1 − sin² α, а затем найти косинус, если известен синус. При доказательстве равенства часто заменяют одну часть другой с помощью подходящей формулы. На каждом шаге сохраняют область допустимых значений исходного выражения, чтобы не добавить углы, при которых оно не определено.

Основные тригонометрические тождества и условия их применения

Сначала выберите формулу, которая содержит нужную функцию, а затем проверьте условие в правом столбце. Основное тождество не требует исключать углы, а формулы с тангенсом и котангенсом требуют проверки знаменателя. Если в задаче есть ограничения на угол, учитывайте и их.

Разбор задач

Задача 1. Найдите cos α, если sin α = 3/5 и угол α острый. Из основного тождества выразим квадрат косинуса, а затем восстановим сам косинус. При извлечении корня учитываем, что острый угол лежит в первой четверти, где косинус положителен.

1. Запишем основное тождество и подставим значение синуса: cos² α = 1 − sin² α = 1 − (3/5)².
2. Вычислим: cos² α = 1 − 9/25 = 16/25, поэтому cos α = ±4/5.
3. Так как α острый, cos α > 0. Выбираем положительное значение: cos α = 4/5.

Ответ: cos α = 4/5. Если бы условие об остром угле отсутствовало, пришлось бы определить знак косинуса по дополнительной информации об α.

Задача 2. Найдите tg α, если sin α = 5/13 и cos α = 12/13. Здесь удобно воспользоваться определением тангенса как отношения синуса к косинусу. Перед делением удостоверимся, что значение косинуса не равно нулю.

1. Проверим знаменатель: cos α = 12/13 ≠ 0, следовательно, тангенс определён.
2. Подставим значения в формулу: tg α = sin α / cos α = (5/13) / (12/13).
3. Разделим дроби: tg α = (5/13) · (13/12) = 5/12.

Ответ: tg α = 5/12. Общий знаменатель 13 сокращается, потому что делим на ненулевой косинус.

Задача 3. Докажите тождество (1 − cos² α) / sin α = sin α. Левая часть определена только при sin α ≠ 0, поэтому сначала зафиксируем это ограничение. После этого применим основное тождество и сократим дробь.

1. Укажем область допустимых значений: sin α ≠ 0. В противном случае дробь в левой части не определена.
2. Из основного тождества следует 1 − cos² α = sin² α. Заменим числитель: (1 − cos² α) / sin α = sin² α / sin α.
3. Так как sin α ≠ 0, сокращение допустимо, и sin² α / sin α = sin α. Получили правую часть равенства.

Доказано: равенство верно при sin α ≠ 0. Указанное условие остаётся частью ответа, хотя после сокращения в правой части синус уже не стоит в знаменателе.

Типичные ошибки

Считать, что tg α и ctg α определены при любом α, — ошибка: в формулах есть знаменатели cos α и sin α. Её допускают, когда запоминают запись функции, но не проверяют деление. Тангенс не определён при cos α = 0, а котангенс — при sin α = 0. Проверьте, не обращается ли знаменатель в ноль для рассматриваемого угла.

При извлечении корня из sin² α или cos² α иногда сразу записывают положительный корень. Но из равенства x² = a следует x = ±√a, если знак x не известен. Положительное значение можно выбрать, например, для синуса или косинуса острого угла, но не для любого угла. Проверьте знак функции по четверти или условию задачи.

Деление обеих частей равенства на sin α или cos α без проверки делителя может привести к неверным выводам. Такая ошибка появляется, когда формулу преобразуют механически и забывают, что при нулевом делителе операция невозможна. Перед делением установите, что соответствующая функция не равна нулю. Если это не следует из условия, рассмотрите отдельно случай нулевого значения.

Сокращая дробь, можно случайно забыть ограничения исходного выражения. Например, после сокращения синуса знаменатель исчезает, но углы, при которых он был равен нулю, всё равно не входят в область определения исходной дроби. Поэтому сначала выпишите допустимые значения, а затем преобразуйте выражение. В конце проверьте, что сокращение не добавило запрещённых углов.

Связь с другими темами

Для изучения тождеств нужны определения sin α, cos α, tg α и ctg α, а также представление о координатах точки единичной окружности. Именно координаты объясняют основное равенство и помогают учитывать знаки функций. Освоенные формулы применяют при преобразовании тригонометрических выражений и решении тригонометрических уравнений. Они также позволяют находить значения функций по известным значениям других функций.

Что запомнить

• sin² α + cos² α = 1 при любом α.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• 1 + tg² α = 1 / cos² α при cos α ≠ 0.
• 1 + ctg² α = 1 / sin² α при sin α ≠ 0.
• Перед делением и сокращением проверьте допустимость угла.