"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Тригонометрические тождества — равенства, которые верны при всех допустимых значениях переменной. Их основа — sin²x + cos²x = 1: оно связывает синус и косинус, а деление этого равенства даёт формулы для тангенса и котангенса. С их помощью находят неизвестные значения функций, упрощают выражения и доказывают равенства. При преобразованиях нужно следить за областью допустимых значений: знаменатель не может быть равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическое тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменной. Допустимыми называют значения, при которых все выражения в равенстве определены, например знаменатели не обращаются в ноль. Это понятие помогает отличать тождество от равенства, которое выполняется лишь для отдельных углов. Проверяя преобразование, нужно учитывать не только формулы, но и допустимые значения.
Основное тригонометрическое тождество имеет вид sin²x + cos²x = 1 и выполняется при любом x. Здесь sin²x означает (sin x)², а cos²x — (cos x)². Формула связывает синус и косинус одного угла, поэтому по значению одной функции можно найти квадрат другой. Это основной инструмент для преобразований и вычислений с тригонометрическими выражениями.
Тангенс выражается через синус и косинус так: tg x = sin x / cos x, а котангенс — так: ctg x = cos x / sin x. В первой дроби знаменатель должен быть ненулевым, поэтому cos x ≠ 0; во второй требуется sin x ≠ 0. Эти определения нужны, чтобы заменять тангенс и котангенс отношениями функций, когда это удобно для вычисления или доказательства. Условия также показывают, где соответствующие функции не определены.
Пусть точка на единичной окружности соответствует углу x. Её координаты равны cos x и sin x, а любая точка окружности удовлетворяет уравнению координат x² + y² = 1. Подставляя вместо координат косинус и синус, получаем cos²x + sin²x = 1. Равенство верно для любого угла, потому что его точка всегда лежит на единичной окружности.
Чтобы получить тождество для тангенса, разделим основное равенство на cos²x. Такое деление возможно только при cos x ≠ 0, иначе знаменатель равен нулю, а тангенс не определён. В результате sin²x / cos²x + 1 = 1 / cos²x. Так как sin x / cos x = tg x, получаем 1 + tg²x = 1 / cos²x.
Для котангенса основное равенство делят на sin²x, поэтому требуется sin x ≠ 0. После деления получаем 1 + cos²x / sin²x = 1 / sin²x. Отношение cos x / sin x равно ctg x, и потому выходит формула 1 + ctg²x = 1 / sin²x. Ограничение нужно не только для самого деления: в этих точках котангенс тоже не определён.
Если известно значение синуса, основное тождество даёт cos²x = 1 − sin²x; если известен косинус, то sin²x = 1 − cos²x. При извлечении квадратного корня возможны два знака, поэтому нужно знать четверть угла или другую информацию о нём. Тангенс и котангенс связывают функции отношением: например, при известном тангенсе можно записать sin x = tg x · cos x. Затем найденные величины проверяют по основному тождеству и условиям определённости.
Чтобы проверить тождество, сначала определяют, при каких x обе его части имеют смысл. Затем одну часть преобразуют с помощью известных формул, стремясь получить другую; обычно выбирают ту часть, которая выглядит сложнее. Каждое деление и сокращение допустимо только при ненулевом знаменателе или сокращаемом множителе. Если равенство получилось только после преобразований, которые исключили допустимые значения исходной задачи, нужно отдельно учесть их.
| Название | Равенство | Ограничения |
|---|---|---|
| Основное тождество | sin²x + cos²x = 1 | Нет, верно при любом x |
| Выражение тангенса через синус и косинус | tg x = sin x / cos x | cos x ≠ 0 |
| Выражение котангенса через косинус и синус | ctg x = cos x / sin x | sin x ≠ 0 |
| Тождество для тангенса | 1 + tg²x = 1 / cos²x | cos x ≠ 0 |
| Тождество для котангенса | 1 + ctg²x = 1 / sin²x | sin x ≠ 0 |
Сначала выбирайте формулу по тому, какая функция или выражение встречается в задаче. Затем обязательно сверяйте ограничения: они показывают, можно ли применить равенство при данном x. Если в условии дан тангенс или котангенс, соответствующие тождества часто позволяют сразу найти выражение с квадратом обратной функции.
Известно, что sin x = 3/5 и x принадлежит первой четверти. Нужно найти cos x. Поскольку известен синус, используем основное тождество и получаем квадрат косинуса; четверть подскажет, какой знак выбрать. Решение состоит из следующих шагов.
Запишем sin²x + cos²x = 1 и подставим sin x = 3/5: cos²x = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
Извлечём корень: cos x = ±4/5. Само равенство для квадрата не определяет знак косинуса, поэтому используем условие о четверти.
В первой четверти косинус положителен. Значит, выбираем cos x = 4/5.
Ответ: cos x = 4/5. Если бы четверть была другой, знак пришлось бы выбирать заново: одного значения sin x для этого недостаточно.
Известно, что tg x = 2. Требуется найти 1 / cos²x. Выражение уже стоит в формуле для тангенса, поэтому вычислять синус и косинус по отдельности не нужно. Перед применением формулы учитываем, что заданный тангенс определён только при cos x ≠ 0.
Запишем тождество 1 + tg²x = 1 / cos²x, которое верно при cos x ≠ 0.
Подставим tg x = 2: 1 / cos²x = 1 + 2² = 1 + 4 = 5.
Ответ: 5. Такое решение короче, чем попытка отдельно находить cos x, и сразу использует связь, нужную в задаче.
Докажем, что (1 − cos²x) / sin x = sin x при допустимых значениях x. Левая часть содержит знаменатель sin x, поэтому исходное выражение определено только при sin x ≠ 0. Используем основное тождество, переписанное как 1 − cos²x = sin²x.
Заменим числитель: (1 − cos²x) / sin x = sin²x / sin x.
Так как sin x ≠ 0, можно сократить дробь на sin x. Получаем sin x, то есть правую часть равенства.
Следовательно, тождество доказано при sin x ≠ 0. Это и есть допустимые значения для исходной дроби; в точках sin x = 0 левая часть не определена.
Тангенс иногда вычисляют по формуле tg x = sin x / cos x при cos x = 0. Ошибка возникает, когда забывают, что на ноль делить нельзя, а сам тангенс в таких точках не определён. Перед использованием формулы проверьте знаменатель; условие cos x ≠ 0 должно выполняться.
Похожая ошибка возникает с котангенсом: формулу ctg x = cos x / sin x применяют при sin x = 0. Обычно это происходит потому, что помнят отношение функций, но упускают область определения. Проверка проста: знаменатель должен быть ненулевым, то есть необходимо sin x ≠ 0.
При переходе от cos²x = 1 − sin²x к значению косинуса можно ошибочно оставить только положительный корень. Квадратный корень из равенства квадратов даёт два варианта, а выбор зависит от четверти угла. Проверьте, где находится x: косинус положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III.
Сокращая дробь на sin x или cos x, иногда не проверяют, может ли этот множитель быть равен нулю. Так можно незаметно исключить часть допустимых значений или выполнить недопустимое деление. До сокращения запишите условие ненулевого множителя и сравните его с областью определения исходного выражения.
Для работы с этими формулами нужно знать, что означают синус, косинус, тангенс и котангенс, а также понимать координатное описание единичной окружности. Именно координаты точки объясняют основное тождество и помогают выбирать знак функции по четверти. Если определения функций знакомы, тождества можно применять как правила преобразования выражений.
Тригонометрические тождества пригодятся при упрощении выражений и доказательстве равенств, где нужно заменить одну форму записи другой. Они также помогают в решении тригонометрических уравнений: связывают функции и позволяют выразить одну через другую. При любом применении необходимо сохранять условия, при которых исходные выражения определены.
sin²x + cos²x = 1 при любом x.
tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0.
ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0.
1 + tg²x = 1 / cos²x при cos x ≠ 0.
1 + ctg²x = 1 / sin²x при sin x ≠ 0.
Знак синуса или косинуса при извлечении корня определяется четвертью.
Почему sin²x + cos²x = 1 верно для любого x?
Синус и косинус угла x — координаты соответствующей точки единичной окружности. Каждая такая точка удовлетворяет уравнению окружности x² + y² = 1, поэтому sin²x + cos²x = 1. Координаты существуют для любого угла.
Как из основного тождества получить формулу для тангенса?
Разделите обе части равенства sin²x + cos²x = 1 на cos²x. При cos x ≠ 0 получится tg²x + 1 = 1 / cos²x, поскольку tg x = sin x / cos x.
Когда тангенс и котангенс не определены?
Тангенс не определён при cos x = 0, то есть при x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Котангенс не определён при sin x = 0, то есть при x = πk.
Как определить знак косинуса, если известно значение синуса?
Сначала найдите квадрат косинуса: cos²x = 1 − sin²x, затем извлеките корень. Знак выбирают по четверти: косинус положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III.
Что нужно проверить перед сокращением дроби при доказательстве тождества?
Проверьте, что выражение, на которое сокращаете, не равно нулю в рассматриваемой области. Например, сокращать на sin x можно только при sin x ≠ 0. Это условие должно входить в область допустимых значений исходного выражения.
§ 26. Тригонометрические тождества
