§ 25. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Определения и обозначения

Тангенс угла — отношение синуса этого угла к его косинусу. Его записывают как tg α = sin α / cos α, причём cos α не должен быть равен нулю. Это определение помогает вычислять тангенс по значениям синуса и косинуса, а также проверять, имеет ли выражение смысл.

Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1. Оно связывает синус и косинус одного и того же угла и верно при любом α. С его помощью можно найти квадрат одной функции, если известно значение другой.

Связь тангенса с синусом и косинусом выражается формулой tg α = sin α / cos α при cos α ≠ 0. Здесь tg α обозначает тангенс угла α, а sin α и cos α — его синус и косинус. Формула позволяет переходить от одной тригонометрической функции к другим, но условие о ненулевом косинусе обязательно.

Как это устроено

Формула тангенса получается непосредственно из его определения: нужно разделить синус угла на косинус того же угла. Например, если sin α = ½ и cos α = √3/2, то tg α = (½) / (√3/2) = 1/√3. Деление возможно только при ненулевом знаменателе, поэтому при cos α = 0 это отношение не существует и тангенс не определён.

Основное тождество можно понять через единичную окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точке, соответствующей углу α, отвечают координаты (cos α; sin α): абсцисса равна косинусу, а ордината — синусу. Любая точка этой окружности удовлетворяет уравнению x² + y² = 1, поэтому после подстановки координат получается cos² α + sin² α = 1.

Чтобы найти косинус по известному синусу, перенесём sin² α в правую часть тождества: cos² α = 1 − sin² α. Тогда cos α равен одному из чисел ±√(1 − sin² α), а конкретный знак зависит от четверти угла. Аналогично, из sin² α + cos² α = 1 получаем sin² α = 1 − cos² α и затем выбираем знак синуса с учётом четверти.

Пусть известен тангенс t. Из определения следует sin α = t cos α; подставив это в основное тождество, получим (1 + t²)cos² α = 1. Значит, cos α = ±1/√(1 + t²), а sin α = ±t/√(1 + t²), причём знаки в этих двух формулах нельзя выбирать независимо: они должны соответствовать одной четверти угла. Удобнее определить четверть заранее и уже по ней установить знаки обеих функций.

Одно значение тангенса само по себе не указывает, в какой четверти находится угол. Например, одинаковый тангенс бывает у углов, чьи синус и косинус одновременно имеют противоположные знаки: их отношение при этом не меняется. Поэтому для однозначного ответа нужны и значение тангенса, и сведения о четверти либо о знаке одной из функций.

Зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного угла

Таблица помогает выбрать формулу по тому, какие значения известны. Прежде чем извлекать корень, посмотри на четверть: она определяет знак синуса и косинуса. При вычислении тангенса отдельно проверь, что косинус не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Известно, что sin α = 3/5 и угол α лежит в I четверти. Найдите cos α и tg α. Сначала найдём квадрат косинуса из основного тождества, затем выберем его знак по четверти. После этого используем отношение синуса к косинусу.

1. По тождеству cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25 = 16/25.
2. Значит, cos α = ±4/5. В I четверти косинус положителен, поэтому cos α = 4/5.
3. Тогда tg α = (3/5) / (4/5) = 3/4. Деление допустимо, поскольку cos α ≠ 0.

Ответ: cos α = 4/5, tg α = 3/4.

Задача 2. Известно, что tg α = −2 и угол α лежит во II четверти. Найдите sin α и cos α. Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен; это согласуется с отрицательным тангенсом. Из тождества и отношения функций найдём их модули, а затем поставим нужные знаки.

1. Пусть cos α = c. Тогда sin α = tg α · cos α = −2c.
2. Подставим в тождество: (−2c)² + c² = 1, то есть 5c² = 1. Следовательно, |c| = 1/√5.
3. Во II четверти cos α < 0, значит, cos α = −1/√5. Тогда sin α = (−2)(−1/√5) = 2/√5.

Ответ: sin α = 2/√5, cos α = −1/√5.

Задача 3. Докажите, что при cos α ≠ 0 выражение (1 − sin² α) / cos α равно cos α. Здесь не нужно отдельно вычислять синус или косинус: достаточно заменить числитель выражением, которое равно ему по основному тождеству. Условие задачи позволяет выполнить последующее сокращение.

1. Из равенства sin² α + cos² α = 1 получаем 1 − sin² α = cos² α.
2. Подставим это в исходное выражение: (1 − sin² α) / cos α = cos² α / cos α.
3. Так как cos α ≠ 0, деление и сокращение допустимы, поэтому cos² α / cos α = cos α.

Ответ: тождество доказано.

Типичные ошибки

Иногда записывают tg α = cos α / sin α, меняя местами числитель и знаменатель. Обычно это происходит из-за путаницы между определениями функций; проверка по формуле tg α = sin α / cos α сразу обнаруживает перестановку. Подставь любые значения синуса и косинуса и убедись, что делишь именно синус на косинус.

Ещё одна ошибка — применять формулу тангенса при cos α = 0. Ученик может не проверить знаменатель и продолжить вычисления, хотя делить на ноль нельзя. Перед нахождением tg α проверь значение косинуса; если он равен нулю, тангенс не определён.

При извлечении корня из cos² α = 1 − sin² α иногда сразу берут положительный корень. Но из равенства квадратов следует cos α = ±√(1 − sin² α), а не только положительный вариант. Проверь четверть угла: во II и III четвертях косинус отрицателен, а в I и IV — положителен.

Также ошибочно считать, что одного значения тангенса всегда достаточно, чтобы однозначно восстановить синус и косинус. Отношение может оставаться прежним, даже если знаки обеих величин одновременно поменяются. Сверься с четвертью угла: без неё нельзя надёжно выбрать знаки найденных синуса и косинуса.

Связь с другими темами

Для работы с этими формулами нужны определения синуса, косинуса и тангенса, а также правила знаков тригонометрических функций по четвертям. Знание четвертей особенно важно при извлечении квадратного корня: тождество даёт квадрат значения, а расположение угла — его знак. Связи между функциями помогают упрощать выражения, решать тригонометрические уравнения и вычислять значения, когда известна только часть данных.

Что запомнить

• sin² α + cos² α = 1.
• tg α = sin α / cos α только при cos α ≠ 0.
• cos² α = 1 − sin² α, а sin² α = 1 − cos² α.
• Знаки синуса и косинуса зависят от четверти угла.
• Для нахождения синуса и косинуса по тангенсу нужны и тождество, и сведения о четверти.