"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Синус, косинус и тангенс одного угла связаны формулами, которые помогают находить неизвестные значения и упрощать выражения. Главная связь — sin² α + cos² α = 1; тангенс равен отношению синуса к косинусу, если косинус не равен нулю. Зная одну функцию, часто можно вычислить другую, но при извлечении корня нужно учитывать четверть угла: именно она подсказывает знак синуса и косинуса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1, верное для любого угла α. Квадрат синуса и квадрат косинуса в сумме всегда дают единицу. С помощью этого равенства можно найти квадрат одной функции, если известно значение другой.
Тангенс угла — отношение синуса этого угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Тангенс существует только при cos α ≠ 0, поскольку делить на ноль нельзя. Эта формула связывает три функции одного и того же угла и позволяет вычислять тангенс, когда известны синус и косинус.
Тождество тангенса — равенство 1 + tg² α = 1 / cos² α, применимое при cos α ≠ 0. Оно получается из основного тождества после деления на квадрат косинуса. Формула помогает находить тангенс или косинус и проверять вычисления, но условие ненулевого косинуса при её использовании обязательно.
Тангенс можно представить как отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Такое определение согласуется с отношениями сторон в прямоугольном треугольнике: синус и косинус используют одну и ту же гипотенузу, а при делении их дроби гипотенуза сокращается. Деление возможно только при cos α ≠ 0, поэтому углы с нулевым косинусом исключаются.
Связь sin² α + cos² α = 1 возникает из единичной окружности. Точка, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α), а расстояние от неё до центра окружности равно единице. По теореме Пифагора сумма квадратов координат равна квадрату радиуса, то есть единице; поэтому равенство работает для любого угла.
Чтобы получить тождество тангенса, в основное равенство подставляют tg α = sin α / cos α или делят все его части на cos² α. Тогда sin² α / cos² α + 1 = 1 / cos² α, а первая дробь равна tg² α. Деление допустимо лишь при ненулевом косинусе, поэтому и новое тождество имеет это ограничение.
Если известен синус, из основного тождества получают cos² α = 1 − sin² α и извлекают корень; если известен косинус, аналогично находят sin² α = 1 − cos² α. Результат при извлечении корня может быть как положительным, так и отрицательным. Нужный знак выбирают по четверти угла или по дополнительному условию задачи, а затем подставляют найденные значения в формулу тангенса.
Знаки функций определяются координатами точки на единичной окружности: косинус — её горизонтальная координата, синус — вертикальная. В первой четверти обе координаты положительны, во второй синус положителен, а косинус отрицателен; в третьей обе величины отрицательны, в четвёртой положителен только косинус. Тангенс — отношение этих координат, поэтому он положителен в I и III четвертях и отрицателен во II и IV.
| Связь | Формула | Условие применимости |
|---|---|---|
| Синус и косинус | sin² α + cos² α = 1 | Для любого угла α |
| Тангенс через синус и косинус | tg α = sin α / cos α | cos α ≠ 0 |
| Тангенс и косинус | 1 + tg² α = 1 / cos² α | cos α ≠ 0 |
| Выражение синуса через косинус | sin² α = 1 − cos² α | Для любого угла α |
| Выражение косинуса через синус | cos² α = 1 − sin² α | Для любого угла α |
Сначала выберите в таблице формулу, которая связывает известную и искомую величины. Перед вычислением проверьте условие применимости, особенно если в формуле есть тангенс. После извлечения корня определите знак по четверти угла или условию задачи.
Условие: угол α острый и sin α = 3/5. Найдите cos α и tg α. Острый угол находится в первой четверти, поэтому и синус, и косинус положительны. Сначала найдём косинус из основного тождества, а затем используем отношение синуса к косинусу.
Ответ: cos α = 4/5, tg α = 3/4. Знак косинуса выбран не только по вычислению, но и по условию об остром угле. Это позволяет избежать неверного отрицательного значения.
Условие: tg α = −3/4, а угол находится во второй четверти. Найдите sin α и cos α. Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен, что согласуется с отрицательным тангенсом. Используем тождество тангенса, чтобы найти модуль косинуса, затем восстановим обе функции с правильными знаками.
Ответ: sin α = 3/5, cos α = −4/5. Умножение тангенса на косинус даёт синус, поскольку из tg α = sin α / cos α следует sin α = tg α · cos α. Знаки результата подтверждают, что выбранная четверть учтена верно.
Условие: tg α = 2 и sin α + cos α > 0. Найдите sin α и cos α. Положительный тангенс возможен в I или III четверти, поэтому одного его знака для выбора значений недостаточно. Дополнительное условие о сумме поможет определить нужный вариант.
Ответ: sin α = 2/√5, cos α = 1/√5. Значение тангенса задаёт отношение функций, а дополнительное неравенство выбирает подходящие знаки. Проверка даёт tg α = 2 и положительную сумму.
Ошибка: записывать tg α = cos α / sin α. Так путают тангенс с котангенсом — отношением косинуса к синусу. Проверьте запись по определению: тангенс равен синусу, делённому на косинус, и это совпадает с отношениями сторон в прямоугольном треугольнике.
Ошибка: применять формулу tg α = sin α / cos α при cos α = 0. Иногда условие забывают после подстановки значений, хотя деление на ноль не определено. Перед вычислением проверьте знаменатель; если косинус равен нулю, тангенс угла не существует.
Ошибка: из sin² α = 1 − cos² α сразу брать только положительный корень. Квадрат числа не показывает, было ли исходное число положительным или отрицательным, поэтому положительный корень подходит не всегда. Сверьте знак с четвертью: например, в III четверти синус отрицателен, а во II — положителен.
Ошибка: считать, что по одному значению тангенса можно однозначно определить синус и косинус. Тангенс задаёт их отношение, но обе функции могут одновременно иметь положительные или отрицательные значения. Используйте четверть или дополнительное условие, а затем проверьте знаки и подстановкой убедитесь, что отношение действительно равно заданному тангенсу.
Для работы с формулами нужны определения синуса, косинуса и тангенса, единичная окружность, четверти и знаки тригонометрических функций. Без этих знаний трудно правильно выбрать знак при извлечении корня. Освоенные зависимости используют при преобразовании выражений и доказательстве тождеств. Они также помогают решать тригонометрические уравнения и задачи на нахождение значений функций.
Почему тангенс нельзя найти, если косинус равен нулю?
Тангенс определяется как отношение sin α к cos α. При cos α = 0 пришлось бы делить на ноль, а такое деление не определено, поэтому тангенса у этого угла нет.
Как понять, какой знак выбрать при нахождении синуса или косинуса?
После извлечения квадратного корня возможны два знака: плюс и минус. Выберите тот, который соответствует четверти угла: например, во второй четверти синус положительный, а косинус отрицательный.
Можно ли по значению тангенса однозначно определить синус и косинус?
Нет: одного значения тангенса недостаточно, чтобы выбрать знаки синуса и косинуса. Учитывайте четверть угла или дополнительное условие задачи; при этом tg α = sin α / cos α помогает установить отношение функций.
Чем основное тригонометрическое тождество отличается от тождества тангенса?
Основное тождество sin² α + cos² α = 1 связывает синус и косинус и верно для любого угла. Тождество 1 + tg² α = 1 / cos² α содержит тангенс и применимо только при cos α ≠ 0.
Как определить четверть угла по знакам синуса, косинуса и тангенса?
В I четверти синус, косинус и тангенс положительны; во II синус положителен, косинус и тангенс отрицательны. В III четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен; в IV синус и тангенс отрицательны, косинус положителен.
З Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
