З Знаки синуса, косинуса и тангенса

Определения и обозначения

Знак синуса — указание на то, положительно, отрицательно или равно нулю число sin x. На координатной окружности синус равен ординате точки, то есть её координате по вертикали. Знак синуса нужен, чтобы сравнивать значения и решать неравенства, даже когда само значение вычислять неудобно.

Знак косинуса показывает, положительно, отрицательно или равно нулю значение cos x. Косинус соответствует абсциссе точки окружности — её координате по горизонтали. Поэтому для определения знака достаточно понять, справа или слева от вертикальной оси находится точка.

Знак тангенса — знак отношения tg x = sin x / cos x при тех x, для которых cos x ≠ 0. Знак частного определяется знаками числителя и знаменателя: одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный. Это позволяет находить знак тангенса по знакам синуса и косинуса.

Координатная окружность и её четверти помогают связывать угол с точкой на плоскости. Четвертями называют четыре области между координатными осями; сами оси к четвертям не относятся. Расположение точки показывает знаки её координат, а значит, и знаки синуса с косинусом.

Как это устроено

Координатная окружность имеет центр в начале координат и радиус 1. Угол x откладывают от положительного направления оси Ox, а соответствующую точку обозначают координатами (cos x; sin x). Так устроено определение синуса и косинуса на окружности: первая координата точки — косинус, вторая — синус. Поэтому знак каждой функции определяется тем, с какой стороны от соответствующей оси находится точка.

В первой четверти точка находится справа и выше начала координат, поэтому обе её координаты положительны. Во второй четверти она слева и выше: абсцисса отрицательна, ордината положительна. В третьей четверти обе координаты отрицательны, так как точка расположена слева и ниже. В четвёртой четверти точка справа и ниже, поэтому косинус положителен, а синус отрицателен.

Тангенс — это отношение ординаты к абсциссе: tg x = sin x / cos x. В первой четверти отношение двух положительных чисел положительно, а в третьей отношение двух отрицательных чисел тоже положительно. Во второй и четвёртой четвертях знаки числителя и знаменателя различаются, поэтому тангенс отрицателен. Такой вывод работает только там, где знаменатель не равен нулю.

На оси Ox ордината точки равна нулю, поэтому sin x = 0; на оси Oy абсцисса равна нулю, поэтому cos x = 0. При cos x = 0 выражение sin x / cos x не имеет значения, следовательно, тангенс не определён. Это происходит при x = π/2 + πk, где k — целое число. Углы на осях являются границами четвертей, и их нужно проверять отдельно, а не относить к соседней четверти.

Угол можно задавать в радианах или градусах: четверти соответствуют промежутки (0; π/2), (π/2; π), (π; 3π/2), (3π/2; 2π) или, соответственно, (0°; 90°), (90°; 180°), (180°; 270°), (270°; 360°). Если угол выходит за один полный оборот или отрицателен, к нему можно прибавить либо вычесть полный оборот, чтобы получить сонаправленный угол. Синус и косинус имеют период 2π (360°), а тангенс — π (180°), поэтому знак повторяется с тем же периодом. Перед определением знака сначала приведите угол к удобному диапазону, затем установите четверть или проверьте, не лежит ли точка на оси.

Знаки синуса, косинуса и тангенса по четвертям координатной окружности

В таблице собраны знаки функций в четвертях и поведение на осях. Знак «+» означает положительное значение, знак «−» — отрицательное, а 0 — нулевое значение. Прочитайте строку нужной четверти после того, как определили положение угла.

Разбор задач

Задача 1. Определить знаки sin(5π/6), cos(5π/6) и tg(5π/6). Найдём расположение угла, не вычисляя сами значения функций. Затем для синуса и косинуса используем координаты точки, а для тангенса — отношение их знаков.

1. Сравним угол с границами четвертей: π/2 = 3π/6, π = 6π/6, поэтому 3π/6 < 5π/6 < 6π/6. Угол лежит во II четверти.
2. Во II четверти ордината точки положительна, а абсцисса отрицательна. Значит, sin(5π/6) > 0 и cos(5π/6) < 0.
3. Тангенс — отношение синуса к косинусу. Положительное число, делённое на отрицательное, даёт отрицательный результат, поэтому tg(5π/6) < 0.

Ответ: sin(5π/6) > 0, cos(5π/6) < 0, tg(5π/6) < 0.

Задача 2. Не вычисляя значения выражения, определить знак произведения sin(7π/6) · cos(7π/6) · tg(7π/6). Здесь важны знаки всех трёх множителей, а не их величины. Сначала найдём четверть, затем перемножим полученные знаки.

1. Угол 7π/6 больше π и меньше 3π/2, поскольку 6π/6 < 7π/6 < 9π/6. Значит, он находится в III четверти.
2. В III четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен. Поэтому множители имеют знаки «−», «−» и «+».
3. Перемножим знаки: (−) · (−) · (+) = (+). Нулевых множителей нет, и тангенс в этой четверти определён.

Ответ: произведение положительно.

Задача 3. Решить на отрезке [−2π; 2π] неравенство sin x · cos x > 0. Произведение положительно, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Значит, подходят I и III четверти, но точки, в которых один из множителей равен нулю, включать нельзя.

1. Нули произведения возникают при sin x = 0 или cos x = 0, то есть при x = kπ/2. Эти точки делят данный отрезок на промежутки, внутри которых знаки множителей не меняются.
2. Определим подходящие четверти: в I четверти оба множителя положительны, в III оба отрицательны, а во II и IV знаки различаются. Поэтому оставляем промежутки, соответствующие I и III четвертям.
3. На отрезке [−2π; 2π] это промежутки (−2π; −3π/2), (−π; −π/2), (0; π/2) и (π; 3π/2). Концы отрезка −2π и 2π тоже не подходят, поскольку произведение там равно нулю.

Ответ: x ∈ (−2π; −3π/2) ∪ (−π; −π/2) ∪ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2).

Типичные ошибки

Путают знаки синуса и косинуса во II и III четвертях. Это случается, если смотреть лишь на то, что угол больше π/2 или π, вместо того чтобы определить положение точки. Проверьте отдельно координаты: выше оси Ox ордината положительна, слева от Oy абсцисса отрицательна. По этому правилу для II четверти получаются sin x > 0 и cos x < 0, а для III обе координаты отрицательны.

Считают тангенс положительным во всех четвертях. Возможно, запоминают только, что тангенс — отдельная функция, и не связывают его знак с отношением. Чтобы проверить себя, выпишите знаки синуса и косинуса и разделите их: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Так видно, почему во II и IV четвертях тангенс отрицателен.

Указывают знак тангенса при x = π/2 + πk. В этих точках косинус равен нулю, поэтому отношение sin x / cos x не определено. Перед тем как записать знак тангенса, проверьте, что знаменатель не равен нулю. Если угол соответствует оси Oy, значение tg x указывать нельзя.

Не учитывают нули синуса или косинуса на осях. Граничный угол ошибочно относят к одной из четвертей и записывают для функции знак вместо нуля. Четверти задаются строгими неравенствами, поэтому точки на осях в них не входят. Подставьте граничный угол в координаты точки: на Ox равен нулю синус, на Oy — косинус.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать знаки функций, нужно уметь работать с координатной плоскостью и четвертями, переводить углы между градусами и радианами, а также понимать определение функций на координатной окружности. Позже знаки синуса, косинуса и тангенса помогут решать тригонометрические уравнения и неравенства и исследовать выражения. Они также нужны при построении графиков и преобразовании тригонометрических формул: знак помогает проверять, может ли полученный результат быть верным.

Что запомнить

• Знак синуса определяется знаком ординаты точки на координатной окружности.
• Знак косинуса определяется знаком абсциссы точки на координатной окружности.
• Синус положителен в I и II четвертях, отрицателен в III и IV.
• Косинус положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III.
• Тангенс положителен в I и III четвертях, отрицателен во II и IV.
• На координатных осях синус или косинус могут быть равны нулю.
• Тангенс не определён при x = π/2 + πk.