Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Определения и обозначения

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Её используют, чтобы связать угол с координатами точки, не ограничиваясь прямоугольными треугольниками. Точка, с которой начинают поворот, имеет координаты (1; 0).

Косинус угла α — абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол α. Абсцисса — это первая координата точки, обычно обозначаемая x. По косинусу можно узнать горизонтальную координату конца поворота.

Синус угла α — ордината точки единичной окружности, полученной тем же поворотом. Ордината — вторая координата точки, обычно обозначаемая y. Синус показывает вертикальную координату конца поворота.

Тангенс угла α — отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Это определение действует только при cos α ≠ 0, поскольку деление на ноль невозможно. Тангенс позволяет выразить связь между двумя координатами точки.

Как это устроено

Угол можно понимать как поворот луча или точки вокруг начала координат. При повороте точки (1; 0) на α получается точка на единичной окружности; направление и величина поворота задаются самим углом. Поскольку поворот можно продолжать на любое число оборотов и в обе стороны, определение работает для положительных, отрицательных и больших углов.

Косинус и синус равны координатам полученной точки, потому что координатная плоскость сразу показывает её положение по горизонтали и вертикали. Радиус окружности равен 1, поэтому каждая координата не может быть меньше −1 или больше 1. Отсюда следуют ограничения −1 ≤ cos α ≤ 1 и −1 ≤ sin α ≤ 1.

Координаты точки P на единичной окружности удовлетворяют уравнению x² + y² = 1. Подставляя x = cos α и y = sin α, получаем cos² α + sin² α = 1. Это тождество связывает координаты точки с углом и помогает находить одну функцию, если известна другая.

Тангенс задают отношением sin α / cos α, потому что синус и косинус являются координатами одной точки, а их отношение сравнивает вертикальное смещение с горизонтальным. Если cos α = 0, знаменатель дроби обращается в ноль и значение получить нельзя. На окружности это точки с абсциссой 0, поэтому тангенс не определён при α = π/2 + πk, где k ∈ Z.

Четверть окружности определяет знаки координат точки, а значит, и знаки синуса и косинуса. В I четверти обе координаты положительны, во II абсцисса отрицательна, в III обе координаты отрицательны, а в IV отрицательна ордината. Знак тангенса зависит от знаков числителя и знаменателя: он положителен, когда они одинаковы, и отрицателен, когда различаются.

Определения и основные ограничения тригонометрических функций

Область определения показывает, для каких углов функция имеет значение, а множество значений — какие результаты она может принимать. Для синуса и косинуса подходят все углы, но их значения ограничены отрезком [−1; 1]. У тангенса ограничений по результату нет, однако он не определён там, где косинус равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Точка единичной окружности, соответствующая углу α, имеет координаты (3/5; 4/5). Найдите cos α и sin α. Здесь значения функций уже заданы координатами, поэтому дополнительные вычисления не нужны. Следует только верно соотнести первую координату с косинусом, а вторую — с синусом.

1. По определению cos α равен абсциссе точки, то есть первой координате 3/5.
2. По определению sin α равен ординате точки, то есть второй координате 4/5.

Ответ: cos α = 3/5, sin α = 4/5.

Задача 2. Известно, что sin α = −1/2, а cos α = √3/2. Найдите tg α и укажите четверть угла. Чтобы найти тангенс, сначала проверяем, что косинус не равен нулю, затем делим синус на косинус. Четверть определяется по знакам обеих координат, а не по одному значению угла.

1. Вычисляем отношение: tg α = (−1/2) / (√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
2. Косинус положителен, значит абсцисса точки положительна; синус отрицателен, значит ордината отрицательна. Такая точка находится в IV четверти.

Ответ: tg α = −√3/3, угол находится в IV четверти.

Задача 3. Точка единичной окружности лежит во II четверти, а cos α = −5/13. Найдите sin α и tg α. Известная абсцисса позволяет применить основное тождество и вычислить квадрат синуса. После извлечения корня нужно выбрать знак по четверти: во II четверти ордината положительна.

1. Из cos² α + sin² α = 1 получаем sin² α = 1 − (−5/13)² = 144/169, поэтому sin α = ±12/13. Во II четверти синус положителен, следовательно sin α = 12/13.
2. Находим отношение: tg α = (12/13) / (−5/13) = −12/5.

Ответ: sin α = 12/13, tg α = −12/5.

Типичные ошибки

Путать синус с абсциссой, а косинус с ординатой — значит поменять определения местами. Это часто происходит потому, что обе функции связаны с координатами одной точки. Проверка простая: cos α — x-координата, sin α — y-координата.

Считать синус и косинус функциями только острых углов неверно: определение через поворот на единичной окружности не ограничивает величину угла. Такое заблуждение возникает из-за первого знакомства с тригонометрией через прямоугольный треугольник. Чтобы проверить область определения, вспомните, что точку можно повернуть на любой угол.

Вычислять тангенс при cos α = 0 нельзя, потому что в формуле tg α = sin α / cos α получится деление на ноль. Иногда это ограничение забывают, сначала подставляя числа в выражение. Перед делением всегда проверьте знаменатель; нулевой косинус соответствует углам π/2 + πk.

Выбирать знак синуса или косинуса только по величине угла без учёта четверти ненадёжно. Знак определяется тем, положительна или отрицательна соответствующая координата точки. Нарисуйте координатные оси и отметьте четверть: справа абсцисса положительна, сверху ордината положительна.

Связь с другими темами

Для понимания определений нужны координатная плоскость, координаты точки и представление об окружности. Также важно понимать поворот на заданный угол: он показывает, как из исходной точки (1; 0) получить точку, связанную с углом. Эти знания помогают уверенно определять координаты и знаки функций.

Синус, косинус и тангенс используются при изучении тригонометрических тождеств, уравнений и функций. Основное тождество помогает преобразовывать выражения и находить неизвестные значения, а отношение синуса к косинусу связывает тангенс с двумя другими функциями. Эти определения становятся основой для дальнейшего решения задач по тригонометрии.

Что запомнить

• На единичной окружности cos α — абсцисса точки, а sin α — её ордината.
• Для любого угла −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1.
• Для любого угла cos² α + sin² α = 1.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• Знаки синуса и косинуса определяются четвертью единичной окружности.
• Тангенс не определён при cos α = 0.