§ 3. Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Определения и обозначения

Угол поворота задаёт, на сколько нужно повернуть начальный луч, чтобы получить конечный. Положительный угол обычно отсчитывают против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Угол можно измерять в радианах: 1 радиан соответствует дуге, длина которой равна радиусу, а полный оборот равен 2π радиан.

Синусом угла α называют ординату точки единичной окружности, соответствующей этому углу; обозначают его sin α. Ордината — это вторая координата точки, то есть её положение по вертикали. Такое определение позволяет находить синус не только для острых, но и для любых углов.

Косинусом угла α называют абсциссу соответствующей точки единичной окружности; обозначение — cos α. Абсцисса является первой координатой и показывает положение точки по горизонтали. Поэтому косинус можно определить для любого угла, заданного поворотом луча.

Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Иными словами, он равен отношению ординаты точки к её абсциссе. Условие cos α ≠ 0 необходимо, потому что делить на ноль нельзя.

Как это устроено

Поместим единичную окружность в координатную плоскость, а начальный луч направим вдоль положительной полуоси Ox. После поворота на α конечный луч пересечёт окружность в точке P. По определениям координаты этой точки записываются так: P(cos α; sin α), поскольку горизонтальное положение задаёт косинус, а вертикальное — синус.

Координаты точки на единичной окружности связаны уравнением x² + y² = 1. Значит, каждая из них по модулю не превосходит 1: если бы, например, |x| было больше 1, сумма x² + y² уже не могла бы равняться единице. Поэтому для любого угла значения sin α и cos α принадлежат отрезку [−1; 1].

Знак синуса определяется ординатой точки, а знак косинуса — абсциссой. В I четверти обе координаты положительны; во II ордината положительна, а абсцисса отрицательна; в III обе отрицательны; в IV ордината отрицательна, а абсцисса положительна. Так сразу устанавливаются знаки синуса и косинуса без вычислений.

Тангенс получается делением ординаты на абсциссу: tg α = y / x = sin α / cos α. Если точка находится на верхней или нижней части вертикального диаметра, её абсцисса равна нулю. Поэтому при α = π/2 + πk, где k ∈ Z, тангенс не определён.

Единичная окружность одинаково работает с градусами и радианами, потому что описывает сам поворот, а не числовую запись угла. Полный оборот составляет 360° или 2π радиан, половина оборота — 180° или π радиан. Следовательно, 90° = π/2, 180° = π, а 270° = 3π/2.

Синус, косинус и тангенс угла

Сначала определите координаты точки или их знаки, затем выберите нужную строку таблицы. Для тангенса всегда отдельно проверяйте, не равен ли косинус нулю. Таблица помогает быстро сопоставить геометрический смысл функции с её формулой.

Разбор задач

Задача 1. Точка единичной окружности имеет координаты (−3/5; 4/5). Найдём значения функций, читая их прямо из координат.

1. Первая координата — абсцисса, поэтому cos α = −3/5.
2. Вторая координата — ордината, поэтому sin α = 4/5.
3. Косинус не равен нулю, значит, tg α = (4/5) / (−3/5) = −4/3.

Ответ: sin α = 4/5, cos α = −3/5, tg α = −4/3.

Задача 2. Угол α лежит во II четверти. В этой четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна.

1. Так как sin α является ординатой, sin α > 0.
2. Так как cos α является абсциссой, cos α < 0.
3. Отношение положительного числа к отрицательному отрицательно, поэтому tg α < 0.

Ответ: sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0.

Задача 3. Пусть точка P находится в III четверти, а её абсцисса равна −1/2. Найдём остальные значения.

1. Используем уравнение окружности: (−1/2)² + y² = 1, откуда y² = 3/4.
2. В III четверти ордината отрицательна, значит y = −√3/2.
3. Получаем cos α = −1/2, sin α = −√3/2. Тангенс существует, так как cos α ≠ 0, и равен (−√3/2)/(−1/2) = √3.

Ответ: sin α = −√3/2, cos α = −1/2, tg α = √3.

Типичные ошибки

Меняют местами синус и косинус, записывая синусом первую координату. Так происходит из-за смешения слов «вертикаль» и «горизонталь». Проверка: sin α — это y, ордината, а cos α — x, абсцисса.

Считают, что тангенс существует для любого угла. Ошибка возникает, если применить формулу и не проверить знаменатель. Всегда убедитесь, что cos α ≠ 0; при нулевом косинусе деление невозможно.

Определяют знаки функций только по числовой величине угла, не находя его четверть. Из-за этого легко перепутать, например, II и IV четверти. Сначала отметьте конечный луч и знаки координат, а уже потом используйте формулу тангенса.

Берут координаты точки окружности любого радиуса как значения синуса и косинуса. Это неверно: определения напрямую работают только для радиуса 1. Если радиус другой, сначала нужно перейти к единичной окружности, разделив координаты на радиус.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны координатная плоскость, абсцисса, ордината, четверти и измерение углов в градусах и радианах. Единичная окружность станет основой при изучении тригонометрических функций, их графиков, тождеств и уравнений. Формула tg α = sin α / cos α пригодится при преобразовании выражений и решении тригонометрических задач.

Что запомнить

• Точке единичной окружности для угла α соответствуют координаты (cos α; sin α).
• Синус угла равен ординате соответствующей точки окружности.
• Косинус угла равен абсциссе соответствующей точки окружности.
• Для любого угла −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• Тангенс не определён при углах, для которых cos α = 0.