"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Поворот точки вокруг начала координат перемещает её по окружности с центром в точке O(0; 0), поэтому расстояние до начала координат не меняется. Направление задаёт знак угла: положительный угол означает поворот против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Для точки A(x; y) образ имеет координаты x′ = x cos α − y sin α и y′ = x sin α + y cos α. Эти формулы помогают выполнять геометрические преобразования на координатной плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поворот точки вокруг начала координат — преобразование, при котором точка перемещается по окружности с центром в начале координат на заданный угол. Точка не отдаляется от центра и не приближается к нему. Это определение нужно, чтобы отличать поворот от перемещения или растяжения.
Угол поворота — величина и направление поворота. Положительный угол соответствует движению против часовой стрелки, а отрицательный — движению по часовой стрелке. Знак угла позволяет однозначно описать направление даже при одинаковой величине поворота.
Координаты повернутой точки — координаты образа точки после преобразования. Если исходная точка A имеет координаты (x; y), то её образ обозначают A′(x′; y′). Эти обозначения нужны, чтобы отделять исходные координаты от новых и записывать формулы преобразования.
Центр поворота — точка, относительно которой происходит вращение; в данной теме это начало координат O(0; 0). Расстояние от O до точки во время поворота остаётся постоянным. Поэтому исходная точка и её образ лежат на одной окружности с центром O.
При повороте точка движется по окружности, а её расстояние до O сохраняется как радиус этой окружности. Если точка A имеет полярное направление β и расстояние r до начала координат, то её координаты равны x = r cos β и y = r sin β. После поворота направление становится β + α, поэтому радиус остаётся прежним, меняется только угол.
Используем формулы сложения: cos(β + α) = cos β cos α − sin β sin α и sin(β + α) = sin β cos α + cos β sin α. Умножая их на r и заменяя r cos β на x, а r sin β на y, получаем x′ = x cos α − y sin α. Аналогично получается y′ = x sin α + y cos α, поэтому координаты зависят сразу от обеих исходных координат.
Знак угла определяет направление, потому что синус меняет знак при замене α на −α, а косинус остаётся прежним. Поэтому формулы для отрицательного угла автоматически дают движение по часовой стрелке. Например, при α = −π/2 точка получает координаты (y; −x), а не результат поворота против часовой стрелки.
Подставляя специальные значения синуса и косинуса, можно получить простые правила. При α = 0 координаты не изменяются, при α = π/2 они переходят в (−y; x), при α = π — в (−x; −y), а при α = −π/2 — в (y; −x). Знаки появляются из значений синуса и косинуса, поэтому запоминать одну лишь перестановку координат недостаточно.
Поворот сохраняет расстояния от центра, длины отрезков и величины углов, поскольку является движением плоскости. Если сначала повернуть фигуру на α, а затем на β, общий результат равен повороту на α + β. Поворот на −α возвращает исходное положение, поэтому он является обратным к повороту на α.
| Угол поворота | x′ | y′ | Результат |
|---|---|---|---|
| Произвольный угол α | x cos α − y sin α | x sin α + y cos α | Общие формулы |
| 0 | x | y | (x; y) |
| π/2 | −y | x | (−y; x) |
| π | −x | −y | (−x; −y) |
| −π/2 | y | −x | (y; −x) |
Сначала определите угол и найдите строку с подходящим правилом. Для произвольного угла используйте общие формулы, а для углов 0, π/2, π и −π/2 удобнее сразу применить готовую замену координат. После вычислений проверьте направление поворота и сохранение расстояния до начала координат.
Условие. Точку A(2; −3) нужно повернуть вокруг начала координат на угол π/2. Угол положительный, поэтому движение идёт против часовой стрелки. Для такого угла удобно использовать правило (x; y) → (−y; x).
Ответ: A′(3; 2). Проверка подтверждает, что точка осталась на той же окружности с центром O.
Условие. Точку A(2; 1) нужно повернуть на угол π/3 и записать результат точно. Здесь нельзя округлять значения синуса и косинуса, поскольку требуется точный вид ответа. Используем общие формулы и значения cos π/3 = ½, sin π/3 = √3/2.
Ответ: A′(1 − √3/2; √3 + ½). Исходное расстояние в квадрате равно 5, и для образа оно также равно 5.
Условие. Точка A(2; 1) должна после поворота оказаться на положительной полуоси Oy. Значит, первая координата образа должна быть равна нулю, а вторая — положительной. Найдём направление радиус-вектора: исходный угол задаётся точкой в первой четверти.
Ответ: α = π/2 − arctg(1/2), A′(0; √5). Отрицательный угол дал бы движение в другую сторону и не привёл бы к указанной полуоси.
Перестановка координат без изменения знака при повороте на π/2. Так ошибаются, когда запоминают только обмен координатами и забывают направление осей. Проверка: для поворота против часовой стрелки используйте (x; y) → (−y; x), а затем сравните положение точки с рисунком или четвертью.
Применение формулы для положительного угла к отрицательному. Причина ошибки — игнорирование знака синуса: sin(−α) = −sin α. Подставьте именно отрицательное значение угла или пользуйтесь правилом для −π/2, чтобы направление поворота не изменилось.
Уверенность, что сохраняются сами координаты. При повороте обычно меняются и x, и y, хотя постоянным остаётся расстояние до начала координат. Проверьте равенство x² + y² и x′² + y′², а не равенство отдельных координат.
Смешение градусов и радиан. Формулы работают при любой мере, но табличные значения вроде sin π/2 = 1 записаны в радианах. Перед вычислением приведите угол к единой мере и не подставляйте число 90 вместо π/2.
До изучения поворота нужны координаты точки на плоскости, радианная мера угла, значения синуса и косинуса и формулы сложения. Без этих знаний трудно понять происхождение координатных формул.
Поворот используется при изучении векторов, координатных преобразований, движений плоскости и комплексных чисел. Он показывает, как геометрическое действие записывается алгебраическими формулами.
В геометрических задачах поворот помогает сохранять расстояния и углы или удобно располагать фигуры на координатной плоскости. После преобразования некоторые свойства становятся заметнее, а вычисления — короче.
Почему при повороте на π/2 координаты не просто меняются местами, а одна из них меняет знак?
При повороте против часовой стрелки на π/2 точка переходит в положение, задаваемое правилом (x; y) → (−y; x). Знак меняется потому, что координатная ось, в направлении которой оказывается новая точка, может иметь отрицательное направление.
Как понять, в какую сторону поворачивается точка при отрицательном угле?
Отрицательный угол означает движение по часовой стрелке. Например, поворот на −π/2 направляет точку из положительной полуоси Ox к отрицательной полуоси Oy.
Можно ли найти координаты исходной точки по координатам повернутой?
Да. Для этого нужно выполнить обратный поворот на угол −α и применить формулы к координатам образа. Такой поворот возвращает точку в исходное положение.
Почему расстояние от точки до начала координат остаётся тем же?
Поворот перемещает точку по окружности, центр которой находится в начале координат. Радиус этой окружности постоянен, поэтому длина отрезка от O до точки не изменяется.
Как определить угол поворота, если известны исходная точка и её образ?
Нужно сравнить направления радиус-векторов исходной точки и образа, то есть найти угол между ними с учётом направления. Если известны координаты, можно использовать формулы поворота или скалярное и ориентированное произведения.
§ 2. Поворот точки вокруг начала координат
