"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Поворот вокруг начала координат перемещает точку по окружности с центром в точке O(0; 0), не меняя расстояния до неё. Чтобы найти координаты образа, нужно знать исходные координаты и угол поворота: положительный угол отсчитывают против часовой стрелки. Общие формулы работают для любого угла, а для 90° и 180° есть короткие правила. Повороты полезны для описания геометрических преобразований и симметрии фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поворот точки вокруг начала координат — преобразование, при котором точка перемещается по окружности с центром в начале координат на заданный угол. Радиус окружности равен расстоянию от исходной точки до начала координат. Это определение помогает понять, почему при повороте точка не приближается к центру и не удаляется от него.
Угол поворота — величина, которая показывает, насколько и в каком направлении перемещают точку. Обычно его обозначают греческой буквой α. Угол нужен, чтобы точно задать преобразование: без него нельзя определить, где окажется точка после поворота.
Положительное направление поворота — движение против часовой стрелки, а отрицательное — по часовой стрелке. Поэтому поворот на −30° направлен по часовой стрелке на 30°. Это правило позволяет однозначно понимать знак угла и не путать направления при вычислениях.
Образ точки — точка, полученная после поворота исходной точки. Если исходные координаты равны (x; y), координаты образа часто обозначают (x₁; y₁). Обозначения нужны, чтобы различать исходное положение и результат преобразования в формулах и задачах.
Во время поворота расстояние от точки до начала координат не меняется. Причина в том, что траектория точки — окружность с центром O(0; 0), а расстояние от центра до любой точки этой окружности является одним и тем же радиусом. Если исходная точка имеет координаты (x; y), длина её радиус-вектора равна √(x² + y²); у образа длина будет такой же. Поэтому поворот сохраняет расстояния до центра, хотя координаты точки могут измениться.
Чтобы вывести координатные формулы, представим точку радиус-вектором — отрезком из начала координат к точке. Пусть длина вектора равна r, а угол между ним и положительным направлением оси Ox равен φ. Тогда x = r cos φ, y = r sin φ. После поворота на α длина не меняется, а направление вектора становится φ + α; значит, координаты образа равны r cos(φ + α) и r sin(φ + α).
Раскроем выражения для координат через формулы суммы углов: cos(φ + α) = cos φ cos α − sin φ sin α, а sin(φ + α) = sin φ cos α + cos φ sin α. Подставляя cos φ = x/r и sin φ = y/r, а затем умножая на r, получаем x₁ = x cos α − y sin α и y₁ = x sin α + y cos α. Минус в формуле для x₁ возникает из формулы косинуса суммы, а не выбирается произвольно. Эти формулы подходят и для положительных, и для отрицательных углов.
Частные углы позволяют проверить направление поворота и запомнить некоторые результаты. Для 90° синус равен 1, косинус — 0, поэтому формулы дают (−y; x): например, точка справа от начала координат переходит вверх. Для 180° синус равен 0, косинус — −1, значит, обе координаты меняют знак; для 270° получаем (y; −x). Если результат не соответствует ожидаемому направлению, вероятно, перепутан знак угла или слагаемое.
При последовательных поворотах вокруг одного и того же начала координат углы складываются. После первого поворота направление радиус-вектора меняется с φ на φ + α, а после второго — на φ + α + β; его длина при этом остаётся прежней. Поэтому два действия равносильны одному повороту на α + β. Например, поворот на 30°, а затем на 60° даёт тот же результат, что поворот на 90°.
| Угол поворота | Координата x образа | Координата y образа |
|---|---|---|
| Произвольный угол α | x cos α − y sin α | x sin α + y cos α |
| 90° | −y | x |
| 180° | −x | −y |
| 270° | y | −x |
Для любого угла подставьте исходные x и y в общие формулы, а затем вычислите синус и косинус. Для углов 90°, 180° и 270° можно сразу воспользоваться короткими правилами из таблицы. Перед применением проверьте, что угол отсчитывается против часовой стрелки; для поворота в обратную сторону учитывайте отрицательный знак.
Точка A(2; 1) поворачивается вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки. Найдём координаты её образа. Угол задан в положительном направлении, поэтому используем правило поворота на 90°: координаты (x; y) переходят в (−y; x). Оно получается и из общих формул при cos 90° = 0 и sin 90° = 1.
Ответ: A₁(−1; 2).
Найдём образ точки B(−3; 2) при повороте на 180°. Для этого угла cos 180° = −1, sin 180° = 0. Общие формулы подскажут, что слагаемые с синусом исчезают, а координаты исходной точки умножаются на −1.
Ответ: B₁(3; −2).
Точку C(1; √3) повернули на 60°. Найдём координаты образа и проверим, сохранилось ли расстояние до начала координат. Используем точные значения cos 60° = ½ и sin 60° = √3/2, чтобы не округлять результат. Положительное направление поворота уже учтено в формулах.
Ответ: C₁(−1; √3); расстояние до начала координат сохранилось и равно 2.
Положительный угол иногда откладывают по часовой стрелке, потому что это направление привычно при движении стрелок часов. Но в координатной плоскости положительным считается поворот против часовой стрелки. Проверить себя можно на точке (1; 0): поворот на 90° должен привести её в точку (0; 1), расположенную выше начала координат.
В формуле для x₁ могут перепутать слагаемые или поставить плюс перед y sin α. Обычно это происходит из-за того, что формулы для двух координат выглядят похоже. Запишите их рядом и проверьте на α = 90°: x₁ должен стать равен −y, а y₁ — x. Если получилась другая пара, в формуле или подстановке есть ошибка.
Калькулятор может вычислять тригонометрические функции в радианах, хотя угол дан в градусах, или наоборот. Тогда даже правильные формулы дадут неверные численные результаты. Перед вычислением проверьте режим калькулятора; для угла 90° в радианном режиме вводят π/2. Точные значения для известных углов часто помогают вовсе обойтись без калькулятора.
Не для каждого угла координаты можно просто переставить или поменять по знаку. Такие короткие правила подходят только для частных углов, например 90°, 180° и 270°. Если угол другой, используйте общие формулы и значения синуса и косинуса. Проверить ответ можно, сравнив x² + y² до поворота и x₁² + y₁² после него.
Для работы с поворотом нужны координаты точки, начало координат и значения синуса и косинуса; единичная окружность помогает понять, как меняются эти значения при изменении угла. Поэтому умение читать координаты и определять направление угла служит основой для применения формул. Поворот также относится к геометрическим движениям: он позволяет описывать преобразования координат и симметрию фигур. Если несколько точек фигуры поворачиваются на один и тот же угол вокруг общего центра, сохраняются расстояния между точками и форма фигуры.
В какую сторону откладывают положительный угол поворота?
Положительный угол отсчитывают против часовой стрелки от исходного положения точки. Поворот по часовой стрелке задают отрицательным углом.
Почему расстояние от точки до начала координат при повороте не меняется?
При повороте точка движется по окружности, центр которой находится в начале координат. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки до начала координат и остаётся постоянным.
Как запомнить знаки в формулах координат повёрнутой точки?
Для координаты x образа запишите x cos α − y sin α, а для y — x sin α + y cos α. Можно проверить знаки на повороте на 90°: формулы должны дать (−y; x).
Что происходит с координатами при повороте на 90° и 180°?
При повороте на 90° против часовой стрелки (x; y) переходит в (−y; x). При повороте на 180° обе координаты меняют знак: получается (−x; −y).
Как выполнить поворот, если угол задан в радианах?
Подставьте угол в радианах в те же формулы: x₁ = x cos α − y sin α, y₁ = x sin α + y cos α. Убедитесь, что при вычислениях калькулятор настроен на радианы.
Поворот точки вокруг начала координат
