§ 22. Поворот точки вокруг начала координат

Определения и обозначения

Поворот точки вокруг начала координат — преобразование, при котором точка перемещается по окружности с центром в начале координат. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки до начала координат. Такое описание помогает представить, что именно меняется при повороте, а что остаётся неизменным.

Угол поворота показывает, насколько и в какую сторону переместили точку относительно её исходного положения. Положительное направление обычно задают против часовой стрелки, а отрицательное — по часовой. Знак угла нужен, чтобы однозначно определить направление движения.

Координаты точки после поворота — координаты её нового положения на плоскости. Исходную точку обозначают A(x; y), а её образ после преобразования — A′(x′; y′). Такое обозначение позволяет отделить известные координаты от тех, которые предстоит найти.

Формулы поворота связывают новые координаты с исходными и углом α: x′ = x cos α − y sin α, y′ = x sin α + y cos α. По ним можно найти образ точки для любого угла, если известны синус и косинус этого угла. Перед подстановкой проверьте, в каких единицах задан α: в градусах или радианах.

Как это устроено

При повороте расстояние от точки до начала координат не меняется, потому что точка движется по окружности с центром в начале координат. Радиус окружности остаётся одним и тем же во всех её точках. Если расстояние исходной точки A до центра равно r, то и для образа A′ оно равно r. В координатах это означает, что x² + y² = x′² + y′².

Чтобы получить формулы поворота, представим точку через её расстояние r до начала координат и угол φ, который отрезок от центра до точки образует с положительным направлением оси Ox. Тогда x = r cos φ, y = r sin φ. После поворота на α угол положения становится φ + α, поэтому x′ = r cos(φ + α), а y′ = r sin(φ + α). Раскрывая суммы по формулам косинуса и синуса суммы и подставляя x = r cos φ, y = r sin φ, получаем формулы поворота.

Знак угла задаёт направление, а не расстояние, на которое точка «сдвигается» по прямой. Положительный α увеличивает угол положения точки, значит, поворачивает её против часовой стрелки; отрицательный уменьшает угол и задаёт движение по часовой. Для отрицательного угла формулы остаются теми же: например, cos(−α) = cos α, а sin(−α) = −sin α. Поэтому подставлять отрицательный угол можно напрямую, внимательно учитывая знаки синуса и косинуса.

Для углов 90°, 180° и 270° значения синуса и косинуса особенно просты, поэтому общие формулы превращаются в правила для координат. Например, при 90° косинус равен 0, а синус — 1, откуда x′ = −y и y′ = x. При 180° получается (−x; −y), а при 270° — (y; −x). Проверка по плоскости помогает заметить ошибку: при повороте на 90° против часовой стрелки точка из первой четверти должна попасть во вторую.

Если сначала повернуть точку на α, а затем ещё на β, её направление относительно начала координат изменится сначала на α, затем на β. Поэтому общий угол изменения равен α + β, и два последовательных поворота равносильны одному повороту на эту сумму. Это работает и для отрицательных углов: например, поворот на 30°, а затем на −10° равносилен повороту на 20°. Свойство удобно применять, когда преобразование разбито на несколько шагов.

Координаты точки после поворота вокруг начала координат

Для произвольного угла подставьте исходные x и y в общие формулы и вычислите синус и косинус α. Для углов из трёх последних строк таблицы быстрее воспользоваться готовым правилом. Если есть сомнение, подставьте соответствующие значения синуса и косинуса в первую строку и проверьте, что получится тот же результат.

Разбор задач

Задача 1. Точка A(3; 2) повёрнута вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки. Найдём координаты её образа. Поскольку угол стандартный, удобнее применить правило для поворота на 90°, а не каждый раз вычислять синус и косинус.

1. Для поворота на 90° координаты меняются по правилу (x; y) → (−y; x).
2. Подставляем x = 3 и y = 2: x′ = −2, y′ = 3.
3. Проверяем направление: точка (3; 2) находится в первой четверти, а после поворота на 90° против часовой стрелки должна попасть во вторую. Координаты (−2; 3) действительно задают точку во второй четверти.

Ответ: A′(−2; 3).

Задача 2. Точку A(2; −1) повернули на 180°. Найдём образ и проверим сохранение расстояния до начала координат. Поворот на 180° меняет направление на противоположное, поэтому обе координаты меняют знак.

1. Применяем правило: (x; y) → (−x; −y).
2. Подставляем координаты A: x′ = −2, y′ = 1. Значит, образ — A′(−2; 1).
3. Сравниваем квадраты расстояний: до поворота 2² + (−1)² = 5, после поворота (−2)² + 1² = 5. Они равны, следовательно, расстояние до начала координат сохранилось.

Ответ: A′(−2; 1); расстояние не изменилось и равно √5.

Задача 3. Точку A(1; √3) повернули на 30° против часовой стрелки. Здесь нужно использовать общие формулы, поскольку готового правила для такого угла в таблице нет. Подставим значения синуса и косинуса 30°.

1. Записываем формулы: x′ = x cos α − y sin α, y′ = x sin α + y cos α.
2. Берём cos 30° = √3/2 и sin 30° = 1/2. Тогда x′ = 1 · √3/2 − √3 · 1/2 = 0.
3. Вычисляем y′: 1 · 1/2 + √3 · √3/2 = 1/2 + 3/2 = 2. Образ находится на положительной полуоси Oy, что соответствует вычисленным координатам.

Ответ: A′(0; 2).

Типичные ошибки

Можно перепутать направление положительного угла и повернуть точку по часовой стрелке. Такая ошибка возникает, если не соотнести знак с обычным направлением отсчёта на координатной плоскости. Перед вычислением отметьте, что положительный поворот идёт против часовой стрелки, а после — проверьте четверть, в которую должна попасть точка.

Другая ошибка — поменять местами синус и косинус или поставить неверный знак в одной из формул. Формулы легко проверить на α = 90°: подстановка cos 90° = 0 и sin 90° = 1 должна дать (x; y) → (−y; x). Если получилось другое правило, значит, при записи или подстановке допущена ошибка.

Иногда считают, что при повороте сохраняется каждая координата. Это неверно: обычно меняются и x, и y, а сохраняется расстояние до начала координат. Проверить результат можно сравнением x² + y² и x′² + y′²; эти выражения должны совпасть.

Не смешивайте градусы и радианы: например, угол 30° нельзя без перевода подставить как 30 в вычисление, настроенное на радианы. Ошибка появляется, когда забывают проверить режим калькулятора или единицы в условии. Согласуйте единицы до вычислений: 180° = π радиан, а затем убедитесь, что синус и косинус рассчитаны в той же системе.

Связь с другими темами

Для работы с поворотом нужны координаты точки на плоскости и умение вычислять синус и косинус угла. Вывод формул опирается на формулы сложения аргументов для тригонометрических функций. Поэтому полезно уверенно находить значения синуса и косинуса стандартных углов и раскрывать выражения sin(φ + α) и cos(φ + α).

Формулы поворота применяют при преобразованиях координат и исследовании геометрических преобразований. Они также помогают решать задачи с тригонометрическими функциями, когда координаты точки зависят от угла. Сохранение расстояния до начала координат даёт дополнительную проверку результата.

Что запомнить

• При повороте вокруг начала координат расстояние до начала координат сохраняется.
• Положительный угол поворота отсчитывают против часовой стрелки.
• После поворота на α: x′ = x cos α − y sin α.
• После поворота на α: y′ = x sin α + y cos α.
• Поворот на 90° переводит (x; y) в (−y; x).
• Поворот на 180° переводит (x; y) в (−x; −y).