§ 23. Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Определения и обозначения

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Угол откладывают от положительного направления оси Ox, то есть от луча, направленного вправо. Положение точки на окружности задаёт угол, а координаты этой точки позволяют определить тригонометрические значения. Единичный радиус делает эти координаты удобными для вычислений.

Синус угла α — ордината, то есть координата y точки единичной окружности, соответствующей этому углу: sin α = y. Иными словами, синус показывает, насколько высоко или низко расположена точка относительно оси Ox. Это определение позволяет находить синус даже тогда, когда угол не является острым. Значения синуса записывают с обозначением sin.

Косинус угла α — абсцисса, то есть координата x соответствующей точки единичной окружности: cos α = x. Она показывает, насколько далеко точка расположена вправо или влево от оси Oy. По этой координате можно определить косинус углов любой величины. Для обозначения используют запись cos α.

Тангенс угла α — отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Значит, тангенс можно вычислить, когда известны обе координаты точки и её абсцисса не равна нулю. Если cos α = 0, деление невозможно, поэтому тангенс не определён. Это ограничение нужно учитывать до вычислений.

Как это устроено

Чтобы поставить углу в соответствие точку, его начинают откладывать от положительного направления оси Ox. Поворот против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным; длина поворота определяет, насколько далеко переместится точка по окружности. После полного оборота точка возвращается туда же, поэтому углы, отличающиеся на 2π, соответствуют одной точке. Так окружность задаёт точку даже для отрицательных углов и углов больше полного оборота.

У каждой точки единичной окружности есть две координаты — абсцисса и ордината. По определению это косинус и синус соответствующего угла, поэтому оба значения существуют для любой точки окружности. Координаты точки на окружности радиуса 1 не могут быть больше 1 или меньше −1. Отсюда следует, что −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1 для любого угла.

Знак синуса и косинуса зависит от того, в какой четверти лежит точка. Синус повторяет знак ординаты: выше оси Ox он положительный, ниже — отрицательный. Косинус повторяет знак абсциссы: справа от оси Oy он положительный, слева — отрицательный. Поэтому в I четверти оба значения положительны, во II отрицателен косинус, в III оба отрицательны, а в IV отрицателен синус.

Тангенс получается делением ординаты на абсциссу, поскольку sin α = y, а cos α = x. Если точка лежит на оси Oy, её абсцисса равна нулю, и отношение y / x вычислить нельзя. Именно поэтому тангенс не существует при cos α = 0, то есть при углах α = π/2 + πk, где k — целое число. Во всех остальных случаях частное синуса и косинуса определено.

Координаты любой точки единичной окружности удовлетворяют уравнению x² + y² = 1. Подставив вместо x косинус, а вместо y синус, получаем sin² α + cos² α = 1. Это равенство называют основным тригонометрическим тождеством. Оно помогает находить одну координату, если известна другая, но знак результата нужно выбирать по четверти.

Синус, косинус и тангенс угла

Сначала по таблице удобно определить, какие координаты соответствуют нужной величине, а затем проверить, допустимо ли деление. Если требуется восстановить синус или косинус, используй основное тождество и выбери знак по четверти. Для тангенса сверь значение с отношением синуса к косинусу.

Разбор задач

Задача 1. Точка единичной окружности, соответствующая углу α, имеет координаты (3/5; 4/5). Найдите sin α, cos α и tg α. Здесь первая координата — абсцисса x, вторая — ордината y. Поэтому достаточно правильно сопоставить координаты определениям, а для тангенса разделить синус на косинус.

1. По определению косинус равен абсциссе: cos α = 3/5.
2. Синус равен ординате: sin α = 4/5.
3. Вычислим отношение: tg α = (4/5) / (3/5) = 4/3. Косинус не равен нулю, значит, тангенс определён.

Ответ: sin α = 4/5, cos α = 3/5, tg α = 4/3.

Задача 2. Угол α соответствует точке единичной окружности с абсциссой −1/2 и лежит во II четверти. Найдите sin α и tg α. Из абсциссы сразу получаем косинус, а синус найдём из основного тождества. Во II четверти ордината положительна, поэтому при выборе корня нужен знак «плюс».

1. Так как cos α = −1/2, то sin² α = 1 − cos² α = 1 − 1/4 = 3/4.
2. Следовательно, sin α = ±√3/2. Во II четверти синус положителен, поэтому sin α = √3/2.
3. Тангенс равен отношению: tg α = (√3/2) / (−1/2) = −√3.

Ответ: sin α = √3/2, tg α = −√3.

Задача 3. Известно, что tg α = −√3 и π/2 < α < π. Найдите sin α и cos α. Промежуток указывает на II четверть: синус там положителен, а косинус отрицателен. Одного отношения недостаточно, поэтому используем также основное тождество.

1. Пусть cos α = c. Тогда sin α = tg α · cos α = −√3c.
2. Подставим в тождество: (−√3c)² + c² = 1, откуда 4c² = 1 и c = ±1/2.
3. Во II четверти косинус отрицателен, значит, cos α = −1/2. Тогда sin α = (−√3)(−1/2) = √3/2.

Ответ: sin α = √3/2, cos α = −1/2.

Типичные ошибки

Перепутать синус с абсциссой, а косинус с ординатой легко, если помнить только названия, а не определения. Тогда значения оказываются поменяны местами, хотя вычисления могут выглядеть правдоподобно. Проверь себя: у точки (x; y) должно быть cos α = x и sin α = y. Можно также сверить результат с рисунком координатной плоскости.

Иногда считают, что синус и косинус существуют только для острых углов, потому что сначала их изучают на прямоугольном треугольнике. Но единичная окружность задаёт точку для любого поворота, поэтому определения работают и для тупых, отрицательных и больших углов. Проверка проста: любой угол можно отложить от положительного направления оси Ox. Соответствующая точка даст обе координаты.

При извлечении корня из равенства sin² α = 1 − cos² α часто выбирают только положительное значение. Это неверно: квадрат не сообщает знак исходного числа, а знак зависит от положения точки. Определи четверть и проверь знак ординаты для синуса или абсциссы для косинуса. Если четверть неизвестна, возможны два знака.

Ещё одна ошибка — вычислять тангенс при cos α = 0. Такое значение косинуса означает, что точка находится на оси Oy, а отношение sin α / cos α требует деления на ноль. Перед вычислением тангенса проверь знаменатель. Если косинус равен нулю, ответ — «тангенс не определён», а не какое-либо число.

Связь с другими темами

Для работы с единичной окружностью нужны координатная плоскость, координаты точки и деление её на четверти. Также нужно понимать угол как поворот от положительного направления оси Ox, в том числе поворот по часовой стрелке. Эти знания помогают без путаницы определять координаты и знаки тригонометрических величин. Если знаки вызывают затруднение, сначала отметь точку и четверть.

Определения через координаты становятся основой для изучения тригонометрических функций и их свойств. Основное тождество и отношение тангенса к синусу и косинусу используют при преобразовании выражений и решении уравнений. Умение выбирать знак по четверти помогает отсеивать неверные ответы. Эти связи пригодятся и в задачах, где угол задан не треугольником, а поворотом.

Что запомнить

• На единичной окружности cos α — абсцисса соответствующей точки.
• На единичной окружности sin α — ордината соответствующей точки.
• Значения синуса и косинуса лежат в пределах от −1 до 1.
• Для любого угла sin² α + cos² α = 1.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• Тангенс не определён при cos α = 0.