§ 24. Знаки синуса, косинуса и тангенса

Определения и обозначения

Синус угла x — ордината точки единичной окружности, соответствующей этому углу. Ордината — это координата точки по вертикальной оси Oy. Если точка находится выше оси Ox, синус положителен, если ниже — отрицателен; на оси Ox он равен нулю. Такое определение позволяет находить знак синуса по положению точки, даже когда само значение функции вычислять не требуется.

Косинус угла x — абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Абсцисса — координата по горизонтальной оси Ox. Справа от оси Oy абсцисса положительна, слева — отрицательна, а на оси Oy равна нулю. Поэтому знак косинуса показывает, в какой половине плоскости расположена точка, и помогает быстро оценить значение функции.

Тангенс угла x — отношение его синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Это отношение определено только тогда, когда cos x ≠ 0, поскольку делить на нуль нельзя. На единичной окружности косинус обращается в нуль у точек на вертикальной оси, поэтому тангенс не определён при x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Это условие нужно проверять до определения знака тангенса.

Координатные четверти — четыре области плоскости, образованные осями Ox и Oy; точки на самих осях к четвертям не относят. В I четверти координаты x и y положительны, во II абсцисса отрицательна, а ордината положительна. В III четверти обе координаты отрицательны, в IV отрицательна ордината, а абсцисса положительна. Поскольку координаты точки окружности равны cos x и sin x, четверть связывает положение точки со знаками функций.

Как это устроено

Каждому углу на единичной окружности соответствует точка: её получают, откладывая угол от положительного направления оси Ox. У окружности радиуса 1 координаты этой точки равны (cos x; sin x), то есть косинус занимает место абсциссы, а синус — ординаты. Поэтому для определения знаков не нужно находить координаты численно: достаточно понять, где расположена точка. Если она лежит справа от Oy, косинус положителен, а если выше Ox, положителен синус.

В I четверти точка находится справа и выше начала координат, поэтому обе её координаты положительны. Во II четверти точка слева и выше, значит, абсцисса отрицательна, а ордината положительна. В III четверти обе координаты отрицательны, так как точка расположена слева и ниже. В IV четверти она справа и ниже, поэтому косинус положителен, а синус отрицателен.

Знак тангенса следует из того, что он является частным sin x / cos x. Если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, их отношение положительно: это происходит в I и III четвертях. Если знаки разные, отношение отрицательно — во II и IV четвертях. Такой способ надёжнее запоминания знака тангенса отдельно: сначала определяют знаки синуса и косинуса, затем сравнивают их.

На границах четвертей точка лежит на одной из координатных осей, поэтому одна из координат равна нулю. На горизонтальной оси sin x = 0, а на вертикальной cos x = 0; в последнем случае отношение sin x / cos x не существует. Вертикальная ось достигается при x = π/2 + πk, k ∈ Z, поэтому именно эти значения исключают из области определения тангенса. Границы нельзя автоматически относить к соседней четверти: знак нулевого значения не бывает ни положительным, ни отрицательным.

Если прибавить к углу 2π, точка совершит полный оборот и вернётся в исходное положение, поэтому знаки синуса и косинуса повторятся. Угол x + π соответствует противоположной точке окружности, где обе координаты меняют знак. В их отношении эти перемены взаимно сокращаются: (−sin x)/(−cos x) = sin x/cos x. Поэтому тангенс повторяется через π, хотя синус и косинус — через 2π.

Знаки синуса, косинуса и тангенса по четвертям

Сначала найди четверть, в которой находится точка, соответствующая углу, а затем прочитай знаки нужных функций в строке таблицы. Для тангенса можно также сверить результат по знакам синуса и косинуса: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Если угол лежит на оси, пользуйся последней строкой и отдельно проверяй, не равен ли нулю знаменатель тангенса.

Разбор задач

Задача 1. Определить знаки sin 2 и cos 2, если угол задан в радианах. Нужно выяснить, где находится угол 2 на окружности, и затем применить связь функций с координатами. Сравним его с границами четвертей: π/2 ≈ 1,57, а π ≈ 3,14. Получаем π/2 < 2 < π, значит, угол расположен во II четверти.

1. Во II четверти точка лежит выше оси Ox, поэтому её ордината положительна. Следовательно, sin 2 > 0. Этот вывод не требует вычислять точное значение синуса.
2. Точка во II четверти расположена слева от оси Oy, поэтому её абсцисса отрицательна. Значит, cos 2 < 0. Проверка по четверти подтверждает, что знаки синуса и косинуса различаются.

Ответ: sin 2 > 0, cos 2 < 0. Ключевой шаг — правильно сравнить угол с границами четвертей. Приближённые значения π/2 и π здесь нужны только для такого сравнения.

Задача 2. Определить знаки sin 5π/6, cos 5π/6 и tg 5π/6. Угол 5π/6 больше π/2, но меньше π, поэтому соответствующая точка лежит во II четверти. Сначала определим знаки синуса и косинуса по положению точки, а затем используем формулу тангенса как частного. Так мы не перепутаем знак тангенса со знаком одного только синуса.

1. Во II четверти ордината положительна, следовательно, sin 5π/6 > 0. Точка находится выше горизонтальной оси. Граница π не включена, поэтому синус не равен нулю.
2. Абсцисса во II четверти отрицательна, поэтому cos 5π/6 < 0. Косинус не равен нулю, значит, тангенс для этого угла определён. Это позволяет перейти к отношению синуса и косинуса.
3. В дроби sin 5π/6 / cos 5π/6 числитель положителен, а знаменатель отрицателен. Частное чисел с разными знаками отрицательно, поэтому tg 5π/6 < 0. Здесь важно учесть оба знака, а не только знак синуса.

Ответ: sin 5π/6 > 0, cos 5π/6 < 0, tg 5π/6 < 0. Все три знака получены из одной и той же четверти. Тангенс отрицателен именно потому, что синус и косинус имеют разные знаки.

Задача 3. Найти все значения x на промежутке [−2π; 2π], для которых sin x < 0 и cos x > 0. Первое условие требует, чтобы точка была ниже оси Ox, второе — чтобы она находилась справа от Oy. Одновременно эти признаки выполняются в IV четверти. Осталось выписать её части внутри заданного промежутка и проверить концы.

1. IV четверть задаётся углами −π/2 + 2πk < x < 0 + 2πk, где k ∈ Z. Крайние точки не включаются: при x = −π/2 + 2πk косинус равен нулю, а при x = 2πk синус равен нулю. Оба случая запрещены строгими неравенствами.
2. На промежутке [−2π; 2π] получаем части IV четвертей: (−π/2; 0) и (3π/2; 2π). Других подходящих частей в заданных пределах нет. Точка −2π не подходит, потому что её синус равен нулю.

Ответ: x ∈ (−π/2; 0) ∪ (3π/2; 2π). Круглые скобки нужны потому, что на концах хотя бы одно из условий не выполняется. Такой контроль границ особенно важен при строгих неравенствах.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что синус и косинус имеют одинаковые знаки во всех четвертях. Её допускают, когда запоминают таблицу без связи с координатами точки. Синус соответствует ординате, а косинус — абсциссе, поэтому их знаки могут различаться. Проверь себя, отдельно спросив, выше или ниже Ox лежит точка и справа или слева от Oy.

Ошибка: определять знак тангенса только по синусу. Тангенс — отношение синуса к косинусу, поэтому без знака знаменателя вывод может оказаться неверным. Например, во II четверти синус положителен, но косинус отрицателен, так что тангенс отрицателен. Для проверки всегда запиши оба знака и определи знак частного.

Ошибка: считать тангенс определённым при cos x = 0. Иногда забывают, что формула tg x = sin x / cos x содержит деление, а делить на нуль невозможно. Перед определением знака проверь, не лежит ли угол на вертикальной оси: x = π/2 + πk. Если косинус равен нулю, тангенс не имеет значения, и знак ему приписывать нельзя.

Ошибка: включать границы четвертей в ответ, не проверив условия. На оси одна из функций может равняться нулю, а тангенс на вертикальной оси вообще не определён; строгие неравенства нулевые значения не допускают. Такая ошибка часто возникает при механическом переносе знаков соседней четверти на границу. Подставь каждый граничный угол в условия задачи и оставь его только тогда, когда все они выполняются.

Связь с другими темами

Для определения знаков нужны координаты точек на плоскости и понимание единичной окружности. Связь координат с тригонометрическими функциями задаёт порядок рассуждений: сначала находят четверть точки, затем читают знаки её абсциссы и ординаты. Этот подход продолжает изучение синуса и косинуса как функций, значения которых связаны с углами.

Знаки функций помогают решать тригонометрические уравнения и неравенства: они позволяют отбирать подходящие промежутки и исключать невозможные значения. Они также пригодятся при определении знака более сложного выражения, если оно составлено из синуса, косинуса и тангенса. В таких задачах таблица четвертей служит способом быстро проверить результат.

Что запомнить

• Знак sin x определяется знаком ординаты точки единичной окружности.
• Знак cos x определяется знаком абсциссы этой точки.
• В I четверти синус, косинус и тангенс положительны.
• Во II четверти положителен только синус.
• В III четверти положителен только тангенс.
• В IV четверти положителен только косинус.
• Тангенс не определён при cos x = 0.