§ 4. Знаки синуса, косинуса и тангенса

Определения и обозначения

Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если повернуть радиус на угол x, его конец окажется в точке с координатами (cos x; sin x). Это связывает функции с геометрией и позволяет определять их знаки, даже если значение угла не выражается простым числом.

Знак синуса угла — указание на то, положителен или отрицателен sin x. На единичной окружности sin x равен ординате, то есть второй координате соответствующей точки. Поэтому знак синуса показывает, расположена точка выше или ниже горизонтальной оси, и помогает сразу исключить неподходящие четверти.

Знак косинуса угла — указание на то, положителен или отрицателен cos x. Косинус равен абсциссе, первой координате точки на окружности. Значит, он показывает, находится точка справа или слева от вертикальной оси; это важно для выяснения знаков других тригонометрических функций.

Знак тангенса угла определяется отношением синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x. Если знаки числителя и знаменателя совпадают, частное положительно, а если различаются — отрицательно. При cos x = 0 тангенс не определён, потому что делить на ноль нельзя.

Как это устроено

Координатные оси делят плоскость на четыре четверти, а единичная окружность пересекает каждую из них. В I четверти точка находится справа и выше начала координат, поэтому обе её координаты положительны. Во II четверти точка выше оси x, но слева от оси y; в III — слева и ниже; в IV — справа и ниже. Поскольку косинус и синус — это соответственно первая и вторая координаты, расположение точки сразу задаёт их знаки.

В I четверти и абсцисса, и ордината положительны, поэтому sin x > 0 и cos x > 0. При движении против часовой стрелки точка попадает во II четверть: она остаётся выше оси x, но оказывается слева от оси y, так что синус положителен, а косинус отрицателен. В III четверти обе координаты отрицательны. В IV четверти ордината отрицательна, а абсцисса положительна; поэтому знаки функций меняются вслед за переходом точки через оси.

Тангенс — частное sin x и cos x, поэтому его знак можно вывести из знаков этих двух функций. В I и III четвертях они одинаковы, и деление чисел с одинаковыми знаками даёт положительный результат. Во II и IV четвертях знаки разные, поэтому тангенс отрицателен. На границе четвертей, где cos x = 0, это отношение невозможно; там тангенс не определён.

Углы могут быть больше 2π или меньше нуля: полный оборот возвращает точку в то же место окружности. Поэтому sin x и cos x повторяют свои значения через 2π, а tg x — через π; для определения знака достаточно привести угол к удобному промежутку, вычитая или прибавляя соответствующий период. Например, для градусной меры можно убрать целое число полных оборотов по 360°. После приведения определяют четверть и применяют правила знаков.

Если известен знак одной функции, по нему можно сузить выбор четвертей. Положительный синус означает, что точка выше оси x, то есть угол лежит в I или II четверти; отрицательный — в III или IV. Положительный косинус соответствует правой полуплоскости (I или IV), отрицательный — левой (II или III). Знак тангенса оставляет I или III четверть при плюсе и II или IV при минусе.

Знаки синуса, косинуса и тангенса в четвертях

Чтобы пользоваться таблицей, сначала приведи угол к промежутку одного оборота и определи четверть. Затем найди нужный столбец и прочитай знак функции. На границах четвертей нужно отдельно учитывать нулевые значения синуса или косинуса и то, что тангенс при cos x = 0 не определён.

Разбор задач

Задача 1. Определить знаки sin 120°, cos 120° и tg 120°. Сначала установим положение угла, а затем применим знаки координат для этой четверти. Вычислять конкретные значения функций здесь не требуется.

1. Угол 120° больше 90° и меньше 180°, значит, он лежит во II четверти.
2. Во II четверти точка находится выше оси x и слева от оси y. Поэтому sin 120° положителен, а cos 120° отрицателен.
3. Тангенс — отношение положительного синуса к отрицательному косинусу, значит, он отрицателен.

Ответ: sin 120° > 0, cos 120° < 0, tg 120° < 0.

Задача 2. Определить знак выражения sin 210° · cos 330°. Произведение будет положительным, если множители одного знака, и отрицательным, если знаки различаются. Поэтому определим четверть каждого угла по отдельности.

1. 210° находится между 180° и 270°, то есть в III четверти. В ней синус отрицателен: sin 210° < 0.
2. 330° находится между 270° и 360°, то есть в IV четверти. В IV четверти косинус положителен: cos 330° > 0.
3. Множители имеют разные знаки, поэтому их произведение отрицательно.

Ответ: sin 210° · cos 330° < 0.

Задача 3. Известно, что sin x < 0 и tg x > 0. Определить четверть, в которой находится угол x. Одно условие указывает положение точки выше или ниже оси, другое — соотношение знаков синуса и косинуса. Совместим эти сведения, чтобы оставить единственный вариант.

1. Отрицательный синус означает, что точка расположена ниже оси x; возможны III и IV четверти.
2. Положительный тангенс означает, что синус и косинус одного знака. Так как синус отрицателен, косинус тоже должен быть отрицателен.
3. Косинус отрицателен в левой полуплоскости. Из двух оставшихся вариантов этому соответствует III четверть.

Ответ: угол x находится в III четверти.

Типичные ошибки

Иногда синус связывают с абсциссой, а косинус — с ординатой. Путаница возникает из-за того, что обе функции задаются координатами одной точки. Проверь себя по определению: координаты точки записывают как (cos x; sin x), значит, косинус — первая координата, синус — вторая.

Ещё одна ошибка — считать тангенс положительным везде, где положителен синус. Но тангенс зависит также от косинуса, ведь tg x = sin x / cos x. Чтобы проверить знак, выпиши знаки обоих чисел и определи знак частного: одинаковые дают плюс, разные — минус.

Можно забыть, что тангенс не определён при cos x = 0, хотя синус в этой точке существует. Обычно это происходит, когда знак функции пытаются найти только по четверти, не замечая, что угол оказался на границе. Перед делением проверь знаменатель: если косинус равен нулю, знак тангенса указывать нельзя.

Для угла больше 2π ошибочно определять четверть, продолжая отсчёт без учёта полных оборотов. После каждого оборота точка снова оказывается в прежнем положении, поэтому сначала приведи угол к одному обороту, прибавив или вычтя 2πk. Самопроверка простая: у приведённого угла и исходного должна быть одна и та же конечная точка на окружности.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь читать координаты точек на плоскости и различать четыре четверти. Также понадобится представление о единичной окружности: угол задаёт положение точки, а её координаты связаны с синусом и косинусом. Эти знания позволяют переходить от геометрического положения к знакам функций.

Правила знаков пригодятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств: они помогают выбрать подходящие промежутки и проверить возможные корни. При упрощении выражений знание знаков помогает оценить результат и не перепутать четверть. Позднее те же правила используются вместе с формулами тригонометрии.

Что запомнить

• На единичной окружности cos x — абсцисса точки, а sin x — её ордината.
• В I четверти синус и косинус положительны.
• В II четверти синус положителен, косинус отрицателен.
• В III четверти синус и косинус отрицательны.
• В IV четверти синус отрицателен, косинус положителен.
• Тангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки.
• Тангенс не определён при cos x = 0.