"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Синус, косинус и тангенс одного угла связаны между собой: синус и косинус — координаты точки единичной окружности, а тангенс равен их отношению. Из этих определений следует основное тождество sin² α + cos² α = 1 и формула 1 + tg² α = 1 / cos² α. Они помогают находить неизвестные значения функций, проверять их согласованность и решать тригонометрические задачи. При вычислениях нужно учитывать четверть угла и условие существования тангенса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус угла — вертикальная координата точки единичной окружности, соответствующей углу α; обозначение — sin α. Координата показывает, насколько высоко или низко расположена точка относительно горизонтальной оси. Это определение позволяет связывать угол с числом и использовать синус в вычислениях.
Косинус угла — горизонтальная координата точки единичной окружности; обозначение — cos α. Она показывает положение точки слева или справа от вертикальной оси. Вместе с синусом косинус полностью задаёт координаты точки окружности и помогает описывать угол.
Тангенс угла — отношение синуса этого угла к его косинусу; обозначение — tg α. Он определён только при cos α ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя. Тангенс выражает связь двух координат одним числом и особенно полезен при преобразовании выражений.
Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1, связывающее синус и косинус одного угла. Оно верно для любого угла, поскольку описывает координаты точки на окружности радиуса 1. С его помощью можно находить одну из этих функций, если известна другая.
Точка единичной окружности имеет координаты (cos α, sin α), а расстояние от неё до начала координат равно радиусу, то есть 1. По теореме Пифагора квадрат расстояния равен сумме квадратов координат. Поэтому cos² α + sin² α = 1: это не отдельное правило, а следствие геометрии окружности.
Тангенс задан как отношение вертикальной координаты к горизонтальной, поэтому tg α = sin α / cos α. Если изменить косинус на ноль, отношение перестаёт иметь смысл: деление на ноль невозможно. Нулевой косинус соответствует углам α = π/2 + πk, где k ∈ Z; следовательно, при этих углах тангенс не существует.
Формулу для тангенса можно получить, разделив основное тождество на cos² α. Получится sin² α / cos² α + 1 = 1 / cos² α, а отношение квадратов равно tg² α. Так возникает равенство 1 + tg² α = 1 / cos² α; деление допустимо только при cos α ≠ 0.
Если известно значение синуса, тождество даёт cos² α = 1 − sin² α, откуда cos α = ±√(1 − sin² α). Аналогично по косинусу находят sin α = ±√(1 − cos² α). Выбор знака зависит от четверти угла: координата точки может быть положительной или отрицательной, поэтому квадрат сам по себе знак не сохраняет.
Если задана одна функция и четверть угла, сначала находят квадрат неизвестной функции из основного тождества или формулы для тангенса, а затем выбирают подходящий знак. Например, при известном tg α можно получить cos² α = 1 / (1 + tg² α), после чего найти синус из отношения sin α = tg α · cos α. Четверть позволяет проверить, что оба знака согласованы с расположением точки.
| Характеристика | sin α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|
| Геометрический смысл | Вертикальная координата | Горизонтальная координата | Отношение sin α к cos α |
| Связь с другими функциями | sin α = tg α · cos α | cos α = sin α / tg α, если tg α ≠ 0 | tg α = sin α / cos α |
| Основное тождество | sin² α + cos² α = 1 | sin² α + cos² α = 1 | 1 + tg² α = 1 / cos² α |
| Условия существования | Для любого α | Для любого α | cos α ≠ 0 |
| Знак в различных четвертях | Положителен в I и II | Положителен в I и IV | Положителен в I и III |
| Множество значений | От −1 до 1 включительно | От −1 до 1 включительно | Все действительные числа |
Сначала найдите в таблице нужную функцию и проверьте условие её существования. При вычислениях используйте тождество для связи синуса с косинусом, а формулу тангенса — для перехода к отношению. Знак функции выбирайте с учётом четверти угла.
Задача 1. Найти cos α и tg α, если sin α = 3/5 и угол α лежит в первой четверти. Тождество определяет квадрат косинуса, но даёт два возможных знака. Поскольку в первой четверти обе координаты положительны, выбираем положительный знак.
Ответ: cos α = 4/5, tg α = 3/4.
Задача 2. Найти sin α и cos α, если tg α = −4/3 и угол α лежит во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен, что согласуется с отрицательным тангенсом. Отношение 4 к 3 подсказывает прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 и гипотенузой 5.
Ответ: sin α = 4/5, cos α = −3/5.
Задача 3. Определить, существует ли угол α, для которого sin α = 5/13 и cos α = −12/13, и найти tg α. Сначала проверим, могут ли числа быть координатами одной точки единичной окружности. Их знаки также должны соответствовать одной четверти.
Ответ: такой угол существует, tg α = −5/12.
Записывают tg α = cos α / sin α, меняя местами числитель и знаменатель. Так ошибаются, если запоминают тангенс как неопределённое «отношение функций». Чтобы проверить себя, сверьте запись с определением: синус стоит в числителе, косинус — в знаменателе.
Вычисляют тангенс при cos α = 0 и не замечают деления на ноль. Причина — применение формулы без проверки области допустимых значений. Перед вычислением проверьте косинус: тангенс не определён при α = π/2 + πk.
Из cos² α = 1 − sin² α сразу получают только положительный косинус. Забывают, что извлечение корня даёт два варианта, а знак координаты зависит от четверти. Проверка проста: сначала запишите cos α = ±√(1 − sin² α), затем выберите знак по четверти.
Считают, что одного значения тангенса достаточно, чтобы без дополнительных условий однозначно найти синус и косинус. Тангенс задаёт отношение функций, а не их знаки по отдельности. Проверьте четверть или знаки функций: без этой информации могут подходить разные пары значений.
Для работы с зависимостями нужно знать единичную окружность, понимать, как по углу определяются синус, косинус и тангенс, и помнить знаки функций в четвертях. Это связывает геометрическое представление угла с вычислениями и алгебраическими формулами. Основное тождество и формула тангенса пригодятся при преобразовании тригонометрических выражений, решении тригонометрических уравнений и вычислении значений функций. В этих задачах они помогают заменить неизвестную функцию известной и проверить результат.
Почему тангенс нельзя найти, если косинус равен нулю?
Тангенс равен отношению синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. При cos α = 0 пришлось бы делить на ноль, а такое деление не определено. Это происходит при α = π/2 + πk, где k — целое число.
Как определить знак синуса или косинуса при извлечении квадратного корня?
Квадратный корень из числа неотрицателен, но исходная функция может иметь любой знак: например, cos α = ±√(1 − sin² α). Знак выбирают по четверти: синус положителен в I и II четвертях, косинус — в I и IV. Поэтому одного извлечения корня недостаточно.
Можно ли найти синус и косинус, если известен только тангенс?
Из формулы 1 + tg² α = 1 / cos² α можно найти квадрат косинуса, а затем по tg α = sin α / cos α — квадрат и знак синуса. Но для выбора знаков нужна дополнительная информация о четверти угла. Без неё обычно возможны разные пары синуса и косинуса.
Чем основное тригонометрическое тождество отличается от формулы тангенса?
Основное тождество sin² α + cos² α = 1 связывает квадраты синуса и косинуса и верно для любого угла. Формула tg α = sin α / cos α задаёт тангенс через эти функции, но только когда cos α ≠ 0. Это разные связи, хотя из них можно вывести другие формулы.
Как проверить, могут ли два заданных числа быть синусом и косинусом одного угла?
Подставьте числа вместо sin α и cos α в равенство sin² α + cos² α = 1. Если сумма квадратов не равна единице, такой пары у одного угла быть не может. Если равна, числа согласуются с основным тождеством; тангенс тогда находят делением синуса на ненулевой косинус.
§ 5. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
