"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Углы α и −α на единичной окружности соответствуют точкам, симметричным относительно оси абсцисс. Поэтому у этих точек одинаковые абсциссы и противоположные ординаты: cos(−α) = cos α, а sin(−α) = −sin α. Так как тангенс — отношение синуса к косинусу, tg(−α) = −tg α, если тангенс определён. Эти формулы помогают быстро преобразовывать выражения и решать тригонометрические уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус угла α — ордината точки единичной окружности, соответствующей этому углу. Ордината — это вторая координата точки, то есть её положение по вертикали. Такое определение позволяет находить синус для любого угла и понять, почему при отражении точки относительно оси абсцисс его знак меняется.
Косинус угла α — абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Абсцисса — первая координата, показывающая положение точки по горизонтали. Это определение пригодится, чтобы увидеть, почему противоположные углы имеют одинаковый косинус.
Тангенс угла α — отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Условие нужно потому, что делить на ноль нельзя. Через это отношение можно выразить тангенс противоположного угла с помощью уже известных формул для синуса и косинуса.
Чётная и нечётная функции сравнивают значения при противоположных аргументах. Функция чётная, если f(−α) = f(α), и нечётная, если f(−α) = −f(α). По этим определениям косинус окажется чётным, а синус и тангенс — нечётными; это помогает сразу выбирать нужный знак при преобразованиях.
На единичной окружности положительный угол отсчитывают в одном направлении, а отрицательный — в противоположном. Поэтому поворот на α и поворот на −α приводят к точкам, расположенным по разные стороны от горизонтальной оси. Отражение относительно оси абсцисс как раз связывает эти точки. Координаты точек при таком отражении устроены так: горизонтальная координата сохраняется, а вертикальная меняет знак.
Синус — вертикальная координата, поэтому ординаты точек для α и −α противоположны. Косинус — горизонтальная координата, которая при отражении не меняется. Отсюда следуют формулы sin(−α) = −sin α и cos(−α) = cos α. Их можно применять к любому углу α, а не только к углам из первой четверти окружности.
Тангенс определяется через синус и косинус, поэтому его формулу для противоположного угла можно вывести, а не заучивать отдельно. Подставим уже полученные равенства: tg(−α) = sin(−α) / cos(−α) = (−sin α) / cos α. Знаменатель остаётся прежним, а числитель меняет знак, значит, tg(−α) = −tg α. Так видно, почему знак тангенса меняется.
У этого вывода есть обязательное условие: знаменатель cos α не должен быть равен нулю. Если cos α = 0, тангенс не существует, потому что в его определении пришлось бы делить на ноль. У противоположных углов косинусы равны, следовательно, если тангенс определён для α, то он определён и для −α. Их область определения совпадает.
Сравнение значений функции при α и −α приводит к понятиям чётности. Равенство cos(−α) = cos α совпадает с определением чётной функции, а равенства для синуса и тангенса — с определением нечётной. Геометрически чётность косинуса связана с симметрией графика относительно вертикальной оси, а нечётность синуса и тангенса — с симметрией относительно начала координат. Для тангенса это утверждение относится только к значениям, где он определён.
| Функция | Значение при α | Значение при −α | Свойство |
|---|---|---|---|
| Синус | sin α | −sin α | Нечётная |
| Косинус | cos α | cos α | Чётная |
| Тангенс | tg α | −tg α | Нечётная; определён при cos α ≠ 0 |
Чтобы преобразовать функцию от −α, найдите её строку и замените значение согласно третьему столбцу. Для косинуса знак сохраняется, для синуса и тангенса меняется. В строке тангенса дополнительно проверьте, что cos α ≠ 0.
Задача 1. Если sin α = 0,6, найдите sin(−α). Нужно определить значение синуса для противоположного угла, а не вычислять координаты точки заново. Применяем формулу sin(−α) = −sin α и подставляем известное значение. Получаем sin(−α) = −0,6. Ответ: −0,6.
Задача 2. Упростите cos(−x) + sin(−x) − tg(−x). Сначала заменим каждую функцию от противоположного аргумента, не забывая, что косинус и синус ведут себя по-разному. Получаем cos x − sin x − (−tg x), а два минуса перед тангенсом дают плюс. Ответ: cos x − sin x + tg x, при cos x ≠ 0.
Задача 3. Известно, что tg α = −2 и cos α ≠ 0. Найдите tg(−α), а затем вычислите tg(−α) + tg α. По нечётности тангенса значение для −α равно противоположному значению для α, значит, tg(−α) = 2. Сумма равна 2 + (−2) = 0. Ответ: tg(−α) = 2; сумма равна 0.
Ошибка: считать, что при замене α на −α знак меняют и синус, и косинус. Её допускают, когда запоминают только идею отражения точек, но не разделяют их координаты. При отражении относительно оси абсцисс меняется ордината, а абсцисса сохраняется. Проверка: синус — ордината, косинус — абсцисса, поэтому cos(−α) = cos α.
Ошибка: записывать cos(−α) = −cos α, перенося на косинус свойство синуса. Причина — смешение формул чётной и нечётной функций. У косинуса знак не меняется, поскольку абсциссы симметричных точек равны. Проверить себя можно по определению косинуса как первой координаты.
Ошибка: считать tg(−α) = tg α. Такое предположение может появиться, если забыть, что тангенс — отношение синуса к косинусу. В этом отношении числитель меняет знак, а знаменатель остаётся прежним, поэтому меняется знак всей дроби. Для проверки подставьте формулы sin(−α) и cos(−α) в определение тангенса.
Ошибка: применять формулу для тангенса при cos α = 0. Иногда формулу вспоминают, но не проверяют, существует ли исходный тангенс. При нулевом знаменателе деление невозможно, поэтому tg α не определён; у tg(−α) возникает та же проблема. Перед вычислением проверьте условие cos α ≠ 0.
Для этой темы нужны координатное определение синуса и косинуса на единичной окружности и понимание отрицательного угла: он задаёт поворот в противоположном направлении. Также нужно уметь находить тангенс как отношение синуса к косинусу и проверять условие существования этого отношения. Формулы для противоположных углов применяют при упрощении тригонометрических выражений и решении уравнений. Они помогают привести функции от отрицательного аргумента к функциям от положительного и аккуратно учесть знак.
Почему синус угла −α отличается от синуса α только знаком?
На единичной окружности углы α и −α задают точки, отражённые друг относительно друга относительно оси абсцисс. При таком отражении ордината меняет знак, а синусом как раз является ордината.
Почему косинус противоположного угла равен исходному?
Косинус — это абсцисса точки на единичной окружности. У точек, соответствующих углам α и −α, абсциссы одинаковы, поэтому cos(−α) = cos α.
Как вывести формулу для тангенса угла −α?
Используем определение tg α = sin α / cos α и формулы для синуса и косинуса противоположных углов. Получаем tg(−α) = (−sin α) / cos α = −tg α, если cos α ≠ 0.
При каких значениях α нельзя вычислить tg α?
Тангенс не определён, когда cos α = 0, то есть при α = π/2 + πk, где k ∈ Z. В этих случаях деление синуса на косинус невозможно.
Как понять, является функция чётной или нечётной?
Сравни значения функции при противоположных аргументах. Если f(−α) = f(α), функция чётная; если f(−α) = −f(α), нечётная. Поэтому косинус чётный, а синус и тангенс нечётные.
§ 27. Синус, косинус и тангенс углов ее и -а
