§ 7. Синус, косинус и тангенс углов а и -а

Определения и обозначения

Углы α и −α называют противоположными: их величины равны, но поворот от положительного направления оси выполняется в разные стороны. Например, если α соответствует повороту против часовой стрелки, то −α — такой же поворот по часовой стрелке. Само число α может задавать угол в радианах или градусах. Это понятие помогает сравнивать значения тригонометрических функций для углов, отличающихся только направлением поворота.

Функция называется чётной, если для каждого x из её области определения выполняется равенство f(−x) = f(x). При замене аргумента на противоположный значение такой функции не меняется. Косинус удовлетворяет этому условию: cos(−α) = cos α. Это свойство удобно, когда нужно убрать минус из аргумента косинуса.

Функция называется нечётной, если для каждого x из её области определения выполняется f(−x) = −f(x). Значение функции при противоположном аргументе меняет знак. Синус и тангенс обладают этим свойством: sin(−α) = −sin α и tg(−α) = −tg α, если тангенс определён. Определения чётности и нечётности позволяют сразу понять, как преобразовать выражение с отрицательным аргументом.

Как это устроено

Представим угол на единичной окружности — окружности с центром в начале координат и радиусом 1. Положительный угол откладывают против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс, а отрицательный — по часовой стрелке. Поэтому повороты на α и −α приводят к точкам, зеркально расположенным относительно оси абсцисс. При таком отражении координата x сохраняется, а координата y меняет знак.

Косинус угла равен абсциссе соответствующей точки, а синус — её ординате. Раз абсциссы точек для α и −α совпадают, то cos(−α) = cos α. Ординаты этих точек противоположны, поэтому sin(−α) = −sin α. Следовательно, синус и косинус определены для любого действительного угла, но по-разному реагируют на смену знака аргумента.

Тангенс связан с синусом и косинусом формулой tg α = sin α / cos α. Для угла −α в числителе появляется −sin α, а знаменатель остаётся cos α. Значит, tg(−α) = (−sin α)/cos α = −tg α, если деление возможно. Здесь важен не только знак результата: при нулевом косинусе сама дробь не имеет смысла.

Равенства для противоположных углов совпадают с определениями чётной и нечётной функций. Поскольку cos(−α) = cos α, косинус — чётная функция. Равенства sin(−α) = −sin α и tg(−α) = −tg α показывают, что синус и тангенс — нечётные функции. Для тангенса это утверждение относится только к тем аргументам, при которых он определён.

Синус и косинус можно вычислить при любом α, а тангенс существует только при cos α ≠ 0. Косинус равен нулю при α = π/2 + πk, где k — целое число, поэтому в этих точках не определены ни tg α, ни tg(−α). У отрицательного аргумента ограничение то же: если cos α = 0, то и cos(−α) = 0. Перед применением формулы для тангенса нужно проверить, что α не равен π/2 + πk.

Значения тригонометрических функций для углов α и −α

Чтобы упростить выражение, найди в таблице функцию с аргументом −α и замени её соответствующим выражением через α. Для тангенса дополнительно проверь ограничение на α. После замены вычисляй оставшееся выражение обычным способом.

Разбор задач

Задача 1

Условие: вычислите sin(−π/6), если sin(π/6) = 1/2. Аргумент дан со знаком минус, а известное значение синуса относится к положительному углу. Поэтому здесь не нужно искать новое значение по окружности: достаточно использовать нечётность синуса.

1. Запишем свойство синуса для противоположных углов: sin(−α) = −sin α. Оно показывает, что при смене знака аргумента значение синуса тоже меняет знак.
2. Подставим α = π/6: sin(−π/6) = −sin(π/6). Теперь используем значение из условия: −sin(π/6) = −1/2.
3. Проверим знак: угол −π/6 расположен ниже оси абсцисс, поэтому ордината соответствующей точки отрицательна. Полученный отрицательный результат согласуется с расположением точки.

Ответ: sin(−π/6) = −1/2.

Задача 2

Условие: упростите cos(−x) − sin(−x) и найдите значение выражения при x = π/6. В выражении присутствуют две функции отрицательного аргумента, и для каждой действует своё правило. Сначала преобразуем всё выражение, а уже затем подставим заданное значение x.

1. Заменим косинус: cos(−x) = cos x. Синус заменим с учётом его нечётности: sin(−x) = −sin x.
2. Подставим замены в исходное выражение: cos x − (−sin x). Минус перед отрицательным слагаемым превращается в плюс, поэтому получаем cos x + sin x.
3. При x = π/6 используем cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2. Складываем значения: √3/2 + 1/2 = (√3 + 1)/2.

Ответ: cos(−x) − sin(−x) = cos x + sin x; при x = π/6 значение равно (√3 + 1)/2.

Задача 3

Условие: известно, что tg α = 3 и α не является точкой, в которой тангенс не определён. Найдите tg(−α), а затем упростите tg(−α) + tg α. Условие гарантирует, что тангенс существует при α; по чётности косинуса он существует и при −α. Остаётся применить нечётность тангенса и подставить данное значение.

1. По формуле для отрицательного аргумента tg(−α) = −tg α. Так как tg α = 3, получаем tg(−α) = −3.
2. Подставим оба значения в сумму: tg(−α) + tg α = −3 + 3. Противоположные числа взаимно уничтожаются.
3. Получаем ноль. Проверка области определения здесь необходима: если бы тангенс при α не существовал, нельзя было бы использовать ни заданное значение, ни формулу для суммы.

Ответ: tg(−α) = −3; tg(−α) + tg α = 0.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что sin(−α) = sin α. Так случается, если перепутать свойства синуса и косинуса и не учесть, что синус — ордината точки окружности. При отражении точки относительно оси абсцисс ордината меняет знак. Проверь себя на α = π/6: sin(−π/6) = −1/2, а не 1/2.

Ошибка: записывать cos(−α) = −cos α. Так ошибочно переносят на косинус свойство нечётной функции. Но косинус равен абсциссе, которая при отражении относительно оси абсцисс не меняется. Для проверки возьми α = 0: cos(−0) = cos 0 = 1, а не −1.

Ошибка: считать, что tg(−α) = tg α. При упрощении иногда меняют знак синуса в дроби, но забывают, что это меняет и знак всего отношения. Поскольку косинус сохраняет значение, а синус меняет его на противоположное, тангенс тоже меняет знак. Проверка: если tg α = 3, то tg(−α) = −3.

Ошибка: применять формулу тангенса при α = π/2 + πk. Причина — забытая область определения: в таких точках cos α = 0, поэтому делить синус на косинус нельзя. Перед вычислением проверь, не попадает ли аргумент в это множество. В противном случае выражение с tg α или tg(−α) не имеет значения.

Связь с другими темами

Для вывода формул нужны единичная окружность и координатное определение синуса и косинуса. Также нужно помнить, что тангенс — отношение синуса к косинусу, и учитывать его область определения. Эти знания связывают геометрическое представление об углах с преобразованием функций. Правила для α и −α помогают упрощать тригонометрические выражения, а затем используются при решении уравнений и неравенств.

Что запомнить

• sin(−α) = −sin α.
• cos(−α) = cos α.
• tg(−α) = −tg α, если тангенс определён.
• Синус и тангенс — нечётные функции.
• Косинус — чётная функция.
• Тангенс не определён при α = π/2 + πk, где k — целое число.