"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Синус, косинус и тангенс двойного угла позволяют находить значение функции для угла 2α через значение функций для угла α. Основные формулы выводятся из формул сложения и помогают вычислять выражения без нахождения самого угла. Для косинуса существуют три равносильные записи, а формула тангенса требует проверки допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус двойного угла — это значение sin 2α, выраженное через синус и косинус угла α: sin 2α = 2 sin α cos α. Обозначение 2α означает угол, вдвое больший α, а не квадрат синуса. Формула нужна, чтобы находить синус удвоенного угла по значениям функций исходного угла.
Косинус двойного угла имеет три равносильные записи: cos 2α = cos² α − sin² α, cos 2α = 1 − 2 sin² α и cos 2α = 2 cos² α − 1. Равносильность означает, что все выражения дают один и тот же результат. Это позволяет выбрать запись по известному синусу или косинусу.
Тангенс двойного угла выражается через тангенс угла α формулой tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α). Дробь можно использовать только при допустимых значениях: tg α должен существовать, а знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому вместе с вычислением проверяют область определения.
Формулы двойного угла являются частным случаем формул сложения. В записи α + β достаточно положить β = α, и сумма превращается в 2α. Такой переход удобен, потому что уже известные правила для суммы сразу дают новые формулы, не требуя отдельного доказательства.
Для синуса суммы справедливо sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. После подстановки β = α получаем sin 2α = sin α cos α + cos α sin α. Одинаковые слагаемые складываются, поэтому появляется множитель 2: sin 2α = 2 sin α cos α.
Косинус суммы раскладывается иначе: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. При одинаковых углах это даёт cos 2α = cos² α − sin² α, поэтому перед квадратом синуса стоит знак минус. Используя sin² α + cos² α = 1, можно заменить cos² α на 1 − sin² α и получить cos 2α = 1 − 2 sin² α.
Если вместо этого заменить sin² α на 1 − cos² α, получится cos 2α = cos² α − (1 − cos² α) = 2 cos² α − 1. Так возникают три формы одной формулы, а не три независимых правила. Выбор зависит от того, значение какой функции уже дано в условии.
Формулу тангенса получают из определения tg x = sin x / cos x. Делим формулу синуса двойного угла на формулу косинуса двойного угла и выносим cos² α в знаменателе: tg 2α = 2 sin α cos α / (cos² α − sin² α) = 2 tg α / (1 − tg² α). Деление допустимо только тогда, когда нужные знаменатели не равны нулю.
Таблица помогает быстро выбрать нужную запись. Если известны синус и косинус, можно применить первую форму косинуса, а при известной только одной функции удобнее использовать соответствующую форму через неё.
| Функция двойного угла | Формула | Условие применения |
|---|---|---|
| Синус | sin 2α = 2 sin α cos α | Формула верна для всех α |
| Косинус, первая форма | cos 2α = cos² α − sin² α | Формула верна для всех α |
| Косинус, формы через одну функцию | cos 2α = 1 − 2 sin² α; cos 2α = 2 cos² α − 1 | Формулы верны для всех α |
| Тангенс | tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) | tg α определён и 1 − tg² α ≠ 0 |
Для тангенса проверки из таблицы недостаточно забывать нельзя: знаменатель формулы должен быть ненулевым. Если он равен нулю, это не означает, что можно просто записать бесконечность вместо значения тангенса.
Условие: найти sin 2α и cos 2α, если sin α = 3/5 и α — острый угол. Сначала нужно восстановить недостающий косинус, потому что формула синуса двойного угла содержит обе функции. Острота угла позволяет выбрать положительный корень.
Ответ: sin 2α = 24/25, cos 2α = 7/25. Знак косинуса был выбран по условию об остром угле.
Условие: вычислить cos 2α, если sin α = −1/4, не находя α. Здесь нет необходимости восстанавливать косинус: одна из формул косинуса уже содержит только синус. Квадрат устраняет знак исходного значения синуса.
Ответ: cos 2α = 7/8. Сам угол α находить не требуется, поскольку формула сразу использует известный синус.
Условие: найти tg 2α, если tg α = 2, и проверить допустимость формулы. Сначала проверяем знаменатель, а затем выполняем подстановку. Это помогает не получить результат из выражения, которое нельзя использовать.
Ответ: tg 2α = −4/3. Допустимость подтверждена ненулевым знаменателем.
Ошибка: записывают sin 2α = 2 sin α. Так теряется множитель cos α, потому что синус суммы содержит два произведения. Проверка проста: вспомните полную формулу sin 2α = 2 sin α cos α.
Ошибка: путают знаки в формулах косинуса или считают, что во всех формах знаки одинаковы. Минус перед sin² α в первой форме превращается в коэффициент −2, а форма через косинус имеет вид 2 cos² α − 1. Проверяйте преобразование через sin² α + cos² α = 1.
Ошибка: применяют формулу тангенса при tg α = ±1. Тогда 1 − tg² α = 0, и дробь не имеет смысла. Перед подстановкой отдельно вычислите знаменатель.
Ошибка: считают, что существование tg α автоматически гарантирует существование tg 2α. Нужно дополнительно, чтобы cos 2α ≠ 0, иначе тангенс двойного угла не определён. При использовании формулы проверьте и исходный тангенс, и знаменатель.
Для вывода формул двойного угла нужны формулы сложения тригонометрических функций. Также используется основное тригонометрическое тождество sin² α + cos² α = 1, связывающее квадрат синуса и квадрат косинуса.
Формулы применяются при упрощении тригонометрических выражений и вычислении значений функций без нахождения самого угла. Они особенно полезны, когда в условии дан только синус, косинус или тангенс α.
Дальше эти преобразования помогают изучать формулы перехода от произведения функций к сумме и обратно. Поэтому умение выбирать подходящую форму косинуса облегчает работу с более сложными выражениями.
Почему в формуле синуса двойного угла появляются и синус, и косинус?
Потому что формула получается из синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. При β = α оба слагаемых становятся одинаковыми, поэтому получается 2 sin α cos α.
Как получить формулы двойного угла из формул сложения?
В формулах сложения нужно заменить β на α, поскольку α + α = 2α. Затем в формуле косинуса можно использовать тождество sin² α + cos² α = 1 и получить другие формы.
Почему у косинуса двойного угла есть три равносильные формы?
Первая форма cos 2α = cos² α − sin² α получается непосредственно из формулы косинуса суммы. Подставляя вместо cos² α или sin² α выражение из основного тригонометрического тождества, получают две другие формы.
Когда нельзя применять формулу тангенса двойного угла?
Формулу нельзя применять, если tg α не определён или 1 − tg² α = 0. Кроме того, сам tg 2α существует только тогда, когда cos 2α ≠ 0.
Какую формулу косинуса двойного угла выбрать, если известен только синус α?
Удобнее использовать формулу cos 2α = 1 − 2 sin² α. Она позволяет сразу подставить известное значение синуса и не находить косинус α.
§ 9. Синус, косинус и тангенс двойного угла а
