"Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни", Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Сумму или разность синусов и косинусов можно заменить произведением двух функций от полусуммы и полуразности аргументов. Такой переход помогает упрощать тригонометрические выражения и решать уравнения: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Главное — правильно определить знаки, порядок аргументов и не забыть разделить их сумму и разность на 2.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма синусов — выражение sin α + sin β, которое по формуле преобразуется в произведение двух множителей. Первый множитель зависит от полусуммы углов и содержит синус, второй — от полуразности и содержит косинус. Это удобно, когда сумму нужно упростить или превратить в произведение для решения уравнения.
Разность синусов — выражение sin α − sin β, которое по формуле также преобразуется в произведение двух множителей. В нём косинус зависит от полусуммы, а синус — от полуразности. Такое представление особенно полезно, если один из полученных множителей легко приравнять к нулю.
Сумма косинусов — выражение cos α + cos β, которое преобразуется в произведение двух косинусов. Оба множителя берутся от полусуммы и полуразности аргументов. Формула помогает заменить сумму, которую трудно вычислять или сравнивать, на более удобное произведение.
Разность косинусов — выражение cos α − cos β, которое преобразуется в произведение синусов с отрицательным знаком. Минус относится ко всему произведению, а оба синуса зависят от полусуммы и полуразности углов. Это определение помогает не потерять знак при упрощении выражений и решении уравнений.
Чтобы вывести формулы, удобно обозначить полусумму аргументов через u = (α + β)/2, а полуразность — через v = (α − β)/2. Тогда α = u + v, а β = u − v: при сложении равенств получаем 2u, при вычитании — 2v. Поэтому исходные углы можно выразить через две величины, которые как раз и появляются в формулах произведения. Такой переход нужен, чтобы применить формулы синуса и косинуса суммы и разности.
Для суммы синусов подставим α = u + v и β = u − v в sin α + sin β. По формулам синуса суммы и разности получаем sin u cos v + cos u sin v + sin u cos v − cos u sin v. Слагаемые cos u sin v имеют противоположные знаки и сокращаются, а два одинаковых слагаемых sin u cos v дают 2 sin u cos v. Значит, сумма синусов становится произведением с синусом полусуммы и косинусом полуразности.
Для разности синусов из выражения sin(u + v) вычитаем sin(u − v). После раскрытия формул остаются два слагаемых cos u sin v с одинаковым знаком, а слагаемые sin u cos v сокращаются. Поэтому получается 2 cos u sin v: порядок функций отличается от формулы суммы синусов. Для косинусов формулы суммы и разности дают cos(u + v) = cos u cos v − sin u sin v и cos(u − v) = cos u cos v + sin u sin v. При сложении остаются два произведения cos u cos v, а при вычитании косинусные слагаемые сокращаются и остаётся −2 sin u sin v, откуда в формуле разности косинусов берётся минус.
Выбирай формулу по виду исходного выражения: сначала смотри, синусы или косинусы стоят в нём, затем — сложение или вычитание. После этого подставляй полусумму и полуразность целиком, не смешивая их местами: в первом аргументе стоит α + β, во втором — α − β. Например, при α = 7x и β = 3x полусумма равна 5x, а полуразность — 2x. Так подстановка остаётся последовательной даже тогда, когда аргументы содержат переменную.
| Выражение | Формула |
|---|---|
| sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
| cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
Найди в левом столбце выражение того же вида, что дано в задаче, и используй соответствующую строку. В правой части сначала подставь полусумму, затем полуразность аргументов. У формулы разности косинусов отдельно проверь знак минус перед произведением.
Задача 1. Преобразовать sin 7x + sin 3x в произведение. Здесь складываются синусы, поэтому выбираем формулу суммы синусов. Важно не подставлять аргументы наугад: сначала вычислим полусумму и полуразность 7x и 3x. Затем запишем полученные значения в соответствующие места формулы.
Ответ: 2 sin 5x cos 2x. Такое преобразование заменило сумму произведением и может сделать дальнейшие вычисления проще. Например, если это выражение входит в уравнение, полученные множители можно исследовать отдельно.
Задача 2. Упростить cos 5x − cos x и найти значение при x = π/8. Даны косинусы с разными аргументами и знаком вычитания, значит, нужна формула разности косинусов. В ней обязательно сохраняется минус перед произведением синусов. После преобразования подставим заданное значение x и вычислим оба аргумента получившихся синусов.
Ответ: cos 5x − cos x = −2 sin 3x sin 2x; при x = π/8 значение выражения равно −√(2 + √2). Отрицательный результат согласуется с тем, что на этом значении cos(5x) меньше cos(x). Проверка знака помогает заметить возможную ошибку в преобразовании.
Задача 3. Решить уравнение sin 5x + sin 3x = 0 на промежутке [0; 2π]. Сумму синусов преобразуем в произведение, чтобы применить правило нуля произведения. Это правило означает, что если произведение равно нулю, хотя бы один из его множителей равен нулю. После решения обоих уравнений нужно выбрать корни из заданного промежутка и не считать совпадающие значения дважды.
Ответ: x = kπ/4, где k = 0, 1, 2, …, 8. Проверка границ показывает, что 0 и 2π включены, так как промежуток задан квадратными скобками. Корни из второго множителя не добавляют новых значений, поскольку уже входят в общий список.
Первая ошибка — поменять местами полусумму и полуразность. Её допускают, когда запоминают формулу целиком, но не смотрят, какой аргумент стоит в каждом множителе. Проверь запись: в первом аргументе должно быть (α + β)/2, во втором — (α − β)/2. Если сомневаешься, отдельно выпиши обе величины до подстановки.
Вторая ошибка — перепутать синус и косинус в формуле разности синусов. Часто её пытаются получить по аналогии с формулой суммы, хотя функции в множителях расположены иначе. Сверь результат с таблицей: для sin α − sin β первым идёт 2 cos((α + β)/2), а затем sin((α − β)/2). Полезно также проверить вывод раскрытием формул синуса суммы и разности.
Третья ошибка — потерять минус в формуле cos α − cos β. Без него выражение меняет знак, поэтому результат может противоречить исходным значениям косинусов. Минус возникает при вычитании раскрытых формул косинуса суммы и разности. Чтобы проверить себя, подставь простые аргументы, например α = π и β = 0: разность равна −2, что соответствует формуле со знаком минус.
Четвёртая ошибка — не разделить сумму или разность аргументов на 2. Причина обычно в том, что ученик сразу подставляет α и β в скобки, не вычисляя нужные величины. Сначала найди (α + β)/2 и (α − β)/2 отдельными действиями, а затем внеси их в формулу. Подстановка α = 7x и β = 3x, например, даёт 5x и 2x, а не 10x и 4x.
Для вывода формул нужны формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов: они позволяют раскрыть выражения и сгруппировать слагаемые. Полученные преобразования применяются при упрощении тригонометрических выражений и решении уравнений, когда произведение удобнее суммы. Они также связаны с обратными формулами преобразования произведения синусов и косинусов в сумму: одни формулы меняют сумму на произведение, другие — произведение на сумму. Знание обоих переходов помогает выбирать более удобный вид выражения.
Как быстро найти полусумму и полуразность двух аргументов?
Сложи аргументы и раздели результат на 2 — это полусумма. Вычти второй аргумент из первого и тоже раздели на 2 — это полуразность: (α + β)/2 и (α − β)/2.
Почему в формуле разности косинусов появляется минус?
При вычитании формул косинуса суммы и разности слагаемые с косинусами полусуммы сокращаются. Остаётся −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2), поэтому минус входит в саму формулу.
Как не перепутать формулы суммы и разности синусов?
Сверяйся с формулой: у суммы синусов первым множителем будет синус полусуммы, а вторым — косинус полуразности. У разности синусов порядок функций другой: сначала косинус полусуммы, затем синус полуразности.
Можно ли применять эти формулы, если аргументы содержат переменную?
Да, формулы верны для любых аргументов, в том числе для выражений с переменной. Например, вместо α и β можно подставить 7x и 3x, а полусумму и полуразность вычислить как выражения с x.
Как использовать преобразование суммы в произведение при решении уравнения?
Сначала замени сумму или разность произведением по подходящей формуле. Затем используй правило нуля произведения: приравняй к нулю каждый множитель и реши полученные уравнения, оставив только корни из заданного промежутка.
§ 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов
