"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Произведение синусов или косинусов можно заменить суммой либо разностью тригонометрических функций от суммы и разности углов. Такие формулы помогают упростить выражения и вычислить произведение, не находя значения каждого множителя отдельно. Главное — верно выбрать формулу, подставить аргументы на свои места и не потерять знак или коэффициент ½.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула произведения синусов имеет вид sin α sin β = ½(cos(α − β) − cos(α + β)). Она заменяет произведение двух синусов разностью косинусов, аргументами которых служат разность и сумма исходных углов. Это удобно, если полученные значения косинуса проще вычислить или объединить с другими слагаемыми.
Формула произведения косинусов записывается так: cos α cos β = ½(cos(α − β) + cos(α + β)). Здесь, в отличие от формулы для синусов, между косинусами стоит знак «плюс». Преобразование помогает перейти от произведения косинусов к выражению, которое можно упростить по известным формулам или табличным значениям.
Для произведения синуса на косинус используют равенство sin α cos β = ½(sin(α + β) + sin(α − β)). Если первым записан косинус, формула будет иной: cos α sin β = ½(sin(α + β) − sin(α − β)). Эти записи нужны, чтобы при смешанном произведении не перепутать аргументы и знак перед вторым синусом.
Формулами преобразования произведения в сумму называют равенства, которые заменяют произведение тригонометрических функций суммой или разностью функций. В новых аргументах появляются сумма и разность исходных углов. Такой переход позволяет применять формулы сложения, выполнять вычисления и упрощать тригонометрические выражения.
Вывод формулы для косинусов начинается с формул косинуса суммы и разности: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, а cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Если сложить эти равенства, слагаемые с произведением синусов взаимно уничтожатся, потому что у них противоположные знаки. Останется 2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β), и деление на два даст формулу произведения косинусов. Именно поэтому в ней стоит сумма косинусов.
Чтобы получить формулу произведения синусов, из равенства для косинуса разности вычитают равенство для косинуса суммы. Произведения косинусов при этом сокращаются, а два слагаемых с sin α sin β складываются: cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β. После деления на два выходит sin α sin β = ½(cos(α − β) − cos(α + β)). Минус появляется из порядка вычитания: сначала берётся косинус разности, затем косинус суммы.
Смешанное произведение выводится из формул синуса суммы и разности: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Если сложить эти равенства, слагаемые cos α sin β сократятся, а sin α cos β удвоится. Получится формула для sin α cos β; если же вычесть второе равенство из первого, останется формула для cos α sin β.
Знаки в трёх типах формул связаны с тем, какие слагаемые сокращаются при сложении или вычитании исходных равенств. Для произведения синусов получается разность косинусов, а для произведения косинусов — сумма косинусов. При смешанном произведении результатом становится сумма синусов, но у записи cos α sin β перед sin(α − β) стоит минус. Поэтому полезно различать не только сами множители, но и их порядок.
При применении формулы сначала определите тип произведения и обозначьте аргументы как α и β в том порядке, который соответствует выбранной записи. Затем подставьте аргументы в сумму и разность, внимательно раскрывая скобки, если в них есть отрицательные числа или несколько слагаемых. После этого упростите полученные углы и, если возможно, вычислите значения функций. Коэффициент ½ умножает всё выражение в скобках, а не только первое слагаемое.
| Произведение | Результат преобразования |
|---|---|
| sin α sin β | ½(cos(α − β) − cos(α + β)) |
| cos α cos β | ½(cos(α − β) + cos(α + β)) |
| sin α cos β | ½(sin(α + β) + sin(α − β)) |
| cos α sin β | ½(sin(α + β) − sin(α − β)) |
Сначала найдите в левом столбце вид произведения, а затем сверьте порядок множителей: он особенно важен в смешанных формулах. Подставьте вместо α и β аргументы своих функций и вычислите сумму и разность. Проверьте, что ½ стоит перед всей скобкой.
Задача 1. Преобразовать sin 30° sin 10° в сумму или разность тригонометрических функций. Здесь оба множителя — синусы, поэтому выбираем формулу произведения синусов. В ней нужно найти не только сумму углов, но и их разность.
Ответ: ½(cos 20° − cos 40°). Значения двух исходных синусов находить не пришлось. Полученное выражение является разностью косинусов, как и должно быть при произведении синусов.
Задача 2. Преобразовать cos 5x cos 2x в сумму и упростить полученное выражение. Оба множителя — косинусы, значит, выбираем формулу с суммой косинусов. Чтобы не ошибиться, отдельно вычисляем разность и сумму аргументов, не меняя порядок 5x − 2x.
Ответ: ½(cos 3x + cos 7x). Слагаемые внутри скобок не являются подобными, поэтому дальше объединить их нельзя. Коэффициент ½ остаётся перед всей суммой.
Задача 3. Вычислить sin 75° cos 15° без непосредственного нахождения значений обоих множителей. Выражение смешанное, причём первым стоит синус, поэтому подходит формула sin α cos β. Она даст синусы суммы и разности, которые удобно вычислить по табличным значениям.
Ответ: (2 + √3)/4. Преобразование свело задачу к известным значениям синуса, а не к отдельному вычислению каждого множителя. При упрощении важно умножить на ½ оба слагаемых в скобках.
Первая ошибка — поменять местами знаки в формулах для синусов и косинусов: для произведения синусов берут разность косинусов, а для косинусов — сумму. Так путают формулы, потому что их левая часть похожа. Сверяйте вид множителей и проверяйте формулу простым частным случаем: например, при α = β произведение синусов равно sin² α.
Вторая ошибка — неправильно раскрыть скобки при вычислении α − β. Например, 5x − (2x − 1) = 3x + 1, а не 3x − 1; знак перед скобкой меняет знаки всех её слагаемых. Такая путаница возникает, когда разность аргументов воспринимают как обычное вычитание отдельных первых членов. Для проверки перепишите вычитание как сложение с противоположным выражением.
Третья ошибка — применить формулу sin α cos β к произведению cos α sin β, не учитывая порядок аргументов. Перестановка множителей допустима, но тогда нужно определить α и β заново: например, cos α sin β можно записать как sin β cos α и подставить β вместо первого аргумента. Проверьте запись по исходному порядку и сравните знак перед sin разности с формулой из таблицы.
Четвёртая ошибка — забыть множитель ½ или применить его лишь к первому слагаемому. Это происходит, когда скобки записаны небрежно или коэффициент мысленно относят к соседнему члену. В формулах ½ умножает всю сумму либо разность. Проверка простая: поставьте выражение в скобки и при необходимости распределите множитель на каждое слагаемое.
Для вывода формул произведения нужно знать формулы синуса и косинуса суммы и разности углов: новые равенства получаются сложением или вычитанием этих формул. В дальнейшем преобразование помогает упрощать тригонометрические выражения и вычислять произведения функций, особенно если сумма и разность аргументов дают известные углы. Те же приёмы используют при решении тригонометрических уравнений: произведение можно заменить суммой, чтобы объединить слагаемые или получить более удобную форму.
Как быстро запомнить формулы произведения синусов и косинусов?
Для двух синусов результат — разность косинусов, для двух косинусов — сумма косинусов. В смешанном произведении получается сумма синусов; порядок аргументов определяет знаки. Во всех формулах стоят аргументы α − β и α + β и общий множитель ½.
Почему в формуле произведения синусов стоит минус?
При вычитании формул косинуса суммы и косинуса разности слагаемые с произведением синусов складываются, а косинусные части сокращаются. Поэтому произведение выражается разностью косинусов. Это также можно проверить, подставив α = β: слева будет sin² α, а справа — ½(1 − cos 2α).
Как выбрать формулу для произведения синуса на косинус?
Посмотрите, какой множитель записан первым. Для sin α cos β используйте ½(sin(α + β) + sin(α − β)); для cos α sin β — ½(sin(α + β) − sin(α − β)). Можно переставить множители, но тогда следует заново правильно определить α и β.
Можно ли применять эти формулы, если аргументы содержат переменную?
Да, формулы верны для любых угловых выражений, в том числе с переменными. Например, при аргументах 5x и 2x в формулу подставляют α = 5x и β = 2x, затем вычисляют разность 3x и сумму 7x.
Зачем преобразовывать произведение тригонометрических функций в сумму?
Сумму или разность часто проще упростить, вычислить или сопоставить с другими слагаемыми выражения. Такое преобразование используют также при решении тригонометрических уравнений. Оно особенно удобно, когда аргументы — известные углы или выражения с одинаковой переменной.
§ 13. Произведение синусов и косинусов
