"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Произведение синусов и косинусов можно заменить суммой или разностью тригонометрических функций. Для этого используют формулы, полученные из формул синуса и косинуса суммы и разности углов. Такие преобразования помогают упрощать выражения и доказывать тождества: вместо произведения появляются функции с аргументами α + β и α − β. Главное — выбрать подходящую формулу, не потерять множитель ½ и правильно раскрыть скобки в аргументах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение синусов — это выражение sin α · sin β, то есть произведение значений синуса двух углов. Его можно представить через косинусы разности и суммы: sin α · sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]. Такое представление нужно, когда удобнее работать с суммой функций, а не с произведением.
Произведение косинусов — выражение cos α · cos β. Оно преобразуется по формуле cos α · cos β = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]. Эта запись помогает раскрывать произведения косинусов, в том числе если их аргументы содержат переменную.
Произведение синуса и косинуса — выражение, в котором перемножены синус одного угла и косинус другого. Например, sin α · cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]. Для порядка cos α · sin β действует отдельная запись: cos α · sin β = ½[sin(α + β) − sin(α − β)]. Различие знаков позволяет учитывать, какой угол стоит при синусе.
Формулы преобразования произведения в сумму — тождества, которые заменяют произведение тригонометрических функций суммой или разностью таких функций. Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных; здесь ограничения на углы не требуются. Формулы нужны, чтобы привести выражение к виду, с которым проще выполнять дальнейшие вычисления.
Формулы произведения выводят из известных формул синуса и косинуса суммы и разности. Например, cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β, а cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Если вычесть второе равенство из первого, одинаковые слагаемые cos α cos β сократятся, а два произведения синусов сложатся. Получится 2 sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β), откуда после деления на 2 следует нужная формула.
Знак в формуле для произведения синусов возникает именно из вычитания двух выражений для косинуса. Для произведения косинусов, напротив, складывают cos(α − β) и cos(α + β). Тогда слагаемые с sin α sin β уничтожаются, а cos α cos β встречается дважды: cos(α − β) + cos(α + β) = 2 cos α cos β. Поэтому произведение косинусов переходит в сумму косинусов, а произведение синусов — в их разность.
Смешанное произведение получают из формул синуса суммы и разности: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. При сложении этих равенств удваивается sin α cos β, а при вычитании — cos α sin β. После деления на 2 выходят формулы для двух порядков множителей. Так можно понять, почему для sin α · cos β в квадратных скобках стоит плюс, а для cos α · sin β — минус.
Все четыре формулы верны при любых углах α и β, потому что получены из тождеств синуса и косинуса. В выражениях α + β и α − β порядок особенно важно отслеживать для синуса: sin(α − β) меняет знак при перестановке углов. Косинус разности, наоборот, не меняется, поскольку cos(α − β) = cos(β − α). При этом в смешанной формуле нужно следить и за порядком синуса и косинуса в исходном произведении.
После замены произведения суммой можно использовать обычные свойства выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые или применять формулы для суммы и разности. Например, в тождестве произведение синусов превращается в разность косинусов, и сравнить его с правой частью становится проще. Чтобы не запутаться, сначала выбери формулу по типу множителей, затем подставь α и β и только после этого вычисляй сумму и разность аргументов. Такой порядок отделяет выбор знака от арифметики с аргументами.
| Произведение | Результат преобразования |
|---|---|
| sin α · sin β | ½[cos(α − β) − cos(α + β)] |
| cos α · cos β | ½[cos(α − β) + cos(α + β)] |
| sin α · cos β | ½[sin(α + β) + sin(α − β)] |
| cos α · sin β | ½[sin(α + β) − sin(α − β)] |
Сначала найди строку, совпадающую с порядком множителей, затем подставь аргументы вместо α и β. Не меняй местами аргументы в разности, пока не учтёшь, что синус разности меняет знак. Множитель ½ относится ко всей сумме или разности в квадратных скобках.
Здесь перемножены синус и косинус, причём синус стоит первым. Поэтому выбираем формулу sin α · cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]. Аргументы нужно подставить в неё, не пытаясь заранее объединять множители. Затем отдельно вычисляем сумму и разность аргументов.
Ответ: sin 3x · cos x = ½(sin 4x + sin 2x). Проверка выбора формулы: результат содержит синусы, как и должно быть для смешанного произведения. Оба аргумента следуют из суммы и разности исходных углов.
Оба множителя — косинусы, значит нужна формула их произведения с плюсом между косинусами результата. Подставим α = 5x и β = 2x. Разность и сумму аргументов вычислим по отдельности: так легче не перепутать 5x − 2x и 5x + 2x.
Ответ: cos 5x · cos 2x = ½(cos 3x + cos 7x). Плюс сохранился, потому что формула для произведения косинусов содержит сумму. Полученные аргументы 3x и 7x — разность и сумма исходных аргументов.
В левой части стоит произведение синусов, поэтому заменим его разностью косинусов. Важно правильно сопоставить α = 4x и β = x: порядок нужен, чтобы получить разность 3x. Множитель 2 перед произведением сократит множитель ½ из формулы.
Ответ: тождество доказано. Левая часть после преобразования совпала с правой. Разность косинусов имеет нужный порядок: сначала косинус разности углов, затем косинус их суммы.
В формуле для произведения синусов иногда ставят плюс между косинусами вместо минуса. Путаница возникает потому, что у произведения косинусов действительно стоит плюс, а формулы похожи по виду. Проверь выбор на записи: sin α · sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]. Полезно запомнить соответствие: синусы дают разность, косинусы — сумму.
Другая частая ошибка — потерять множитель ½. Он появляется при выводе, потому что сначала получается удвоенное произведение, а затем обе части равенства делят на 2. После подстановки убедись, что ½ стоит перед всей скобкой, а не только перед одним слагаемым. Если в исходном выражении есть множитель 2, как в третьей задаче, сначала отдельно проверь его произведение с ½.
Можно неверно вычислить аргументы разности: например, принять 3x − x за 4x. Такое случается, когда сумму и разность считают невнимательно или выполняют действия с коэффициентами как с самими углами. Запиши сначала оба выражения в скобках, а затем упрости их: 3x − x = 2x, 3x + x = 4x. Проверка состоит в том, чтобы убедиться: сумма больше разности, если исходные положительные коэффициенты расположены так, как в примере.
Наконец, не следует бездумно переставлять углы в разности. Для косинуса cos(α − β) = cos(β − α), но для синуса sin(α − β) = −sin(β − α). Ошибку допускают, перенося привычное свойство косинуса на синус. Проверяй функцию и порядок углов; в смешанных произведениях дополнительно сверяй, какой множитель — синус, а какой — косинус.
Для вывода формул нужны формулы синуса и косинуса суммы и разности углов. Если они уже известны, преобразования произведений можно восстановить самостоятельно, складывая или вычитая соответствующие равенства. Новые формулы применяют при упрощении тригонометрических выражений и доказательстве тождеств, когда произведение мешает увидеть нужное совпадение. Есть и обратные формулы: они превращают суммы синусов или косинусов в произведения, поэтому выбор направления зависит от вида выражения.
Какую формулу выбрать для произведения двух синусов?
Для sin α · sin β используй формулу sin α · sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]. В результате получается разность косинусов.
Почему в формуле для произведения синусов стоит минус?
При вычитании формул косинуса суммы и разности произведения косинусов сокращаются, а произведения синусов удваиваются. Поэтому после деления на 2 остаётся разность косинусов.
Как не перепутать формулы для sin α · cos β и cos α · sin β?
Сначала сопоставь первый множитель с α, а второй — с β. Для sin α · cos β между синусами в результате стоит плюс, а для cos α · sin β — минус.
Можно ли применять эти формулы, если аргументы содержат переменную?
Да. Формулы верны для любых углов, поэтому вместо α и β можно подставлять выражения с переменной, например 3x и x.
Как проверить, правильно ли раскрыты сумма и разность углов?
Подставь углы в скобки и вычисли их сумму и разность отдельно. Например, при α = 3x и β = x получаются α + β = 4x и α − β = 2x.
9.6. Произведение синусов и косинусов
