9.5. Формулы для двойных и половинных углов

Определения и обозначения

Синус двойного угла — это значение sin(2x), выраженное через функции угла x: sin 2x = 2 sin x cos x. Здесь «двойной угол» означает угол, вдвое больший x. Формула нужна, чтобы вычислить синус 2x, если известны синус и косинус x.

Косинус двойного угла задаётся равенством cos 2x = cos² x − sin² x = 2 cos² x − 1 = 1 − 2 sin² x. Все три выражения дают одно и то же значение, но используют разные исходные данные. Поэтому можно выбрать запись, где известен синус или косинус x.

Тангенс двойного угла выражается формулой tg 2x = 2 tg x/(1 − tg² x), если дробь определена. Тангенс — отношение синуса к косинусу, поэтому при переходе к этой формуле возникают ограничения на знаменатель. Она удобна, когда значение tg x известно и условия применимости выполнены.

Формулы половинного угла выражают sin²(x/2), cos²(x/2) и tg(x/2) через функции угла x. Например, sin²(x/2) = (1 − cos x)/2, а cos²(x/2) = (1 + cos x)/2. Эти равенства помогают находить функции половинного угла, но для синуса и косинуса после извлечения корня отдельно выбирают знак.

Как это устроено

Формулу синуса двойного угла получают из формулы синуса суммы: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Если взять a = b = x, то сумма становится x + x = 2x, а оба слагаемых справа равны sin x cos x. Складывая их, получаем sin 2x = 2 sin x cos x. Множитель 2 возникает именно потому, что в сумме два одинаковых слагаемых.

Для косинуса используют формулу cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. При a = b = x получается cos 2x = cos² x − sin² x. Основное тождество sin² x + cos² x = 1 позволяет заменить sin² x на 1 − cos² x, и тогда выходит cos 2x = 2 cos² x − 1. Если вместо этого заменить cos² x на 1 − sin² x, получится cos 2x = 1 − 2 sin² x; так возникают три равносильные формы.

Формулу тангенса двойного угла получают делением sin 2x на cos 2x, поскольку tg 2x = sin 2x/cos 2x. После подстановки формул двойного угла и деления числителя и знаменателя на cos² x выходит 2 tg x/(1 − tg² x). Деление допустимо только там, где использованные выражения определены и знаменатель не равен нулю. Поэтому нельзя применять запись, если tg x не существует или 1 − tg² x = 0.

Чтобы получить формулы половинного угла, в формулах для косинуса двойного угла заменяют x на x/2. Тогда cos x = 1 − 2 sin²(x/2), откуда sin²(x/2) = (1 − cos x)/2. Из равенства cos x = 2 cos²(x/2) − 1 аналогично следует cos²(x/2) = (1 + cos x)/2. Квадраты получаются без выбора знака, но сам синус или косинус равен положительному либо отрицательному корню в зависимости от положения x/2.

Тангенс половинного угла можно вывести из определения tg(x/2) = sin(x/2)/cos(x/2) и формул для синуса и косинуса половинного угла. После преобразования получается tg(x/2) = sin x/(1 + cos x); равносильная запись — (1 − cos x)/sin x. Второй вид выводится домножением дроби на выражение, позволяющее использовать тождество 1 − cos² x = sin² x. У обеих формул нужно проверять, что знаменатель не равен нулю, и выбирать вариант, подходящий для известных значений.

Формулы для двойного и половинного углов

Если известны sin x и cos x, для косинуса двойного угла выбирайте форму с известной функцией. Формулы с квадратом половинного угла дают значение квадрата, поэтому знак корня нужно определять отдельно. В формулах тангенса сначала проверьте знаменатель и допустимость аргумента.

Разбор задач

Задача 1. Найдите sin 2x и cos 2x, если sin x = 3/5 и x находится в первой четверти. Сначала требуется восстановить cos x: в первой четверти косинус положителен. Затем можно применить формулы двойного угла, причём для cos 2x особенно удобно выражение 1 − 2 sin² x.

1. По основному тождеству cos² x = 1 − sin² x = 1 − 9/25 = 16/25. Так как x в первой четверти, cos x = 4/5.
2. Вычисляем sin 2x = 2 sin x cos x = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25.
3. Вычисляем cos 2x = 1 − 2 sin² x = 1 − 18/25 = 7/25.

Ответ: sin 2x = 24/25, cos 2x = 7/25. Знак косинуса x выбран положительным именно из-за условия о первой четверти; без него одного значения sin x было бы недостаточно для однозначного выбора.

Задача 2. Найдите cos 2x, если cos x = −1/3. Здесь известен косинус, поэтому не нужно сначала искать sin x и извлекать корень. Выбираем формулу cos 2x = 2 cos² x − 1: в ней сразу подставляется заданная величина.

1. Возводим известный косинус в квадрат: cos² x = (−1/3)² = 1/9.
2. Подставляем: cos 2x = 2 · 1/9 − 1 = 2/9 − 9/9 = −7/9.

Ответ: cos 2x = −7/9. Квадрат отрицательного числа положителен, поэтому важно возвести в квадрат всё значение cos x, а не потерять скобки при подстановке.

Задача 3. Найдите tg 15°, используя формулу тангенса половинного угла и значения sin 30° и cos 30°. Поскольку 15° — половина 30°, берём x = 30° в формуле для tg(x/2). Из двух вариантов удобен тот, где в знаменателе стоит 1 + cos 30°: это число заведомо не равно нулю.

1. Подставляем известные значения: tg 15° = sin 30°/(1 + cos 30°) = (1/2)/(1 + √3/2).
2. Приводим знаменатель: tg 15° = 1/(2 + √3). Умножаем числитель и знаменатель на 2 − √3, чтобы упростить дробь.
3. Получаем tg 15° = (2 − √3)/((2 + √3)(2 − √3)) = 2 − √3, так как знаменатель равен 4 − 3 = 1.

Ответ: tg 15° = 2 − √3. Знаменатель исходной формулы равен 1 + √3/2, поэтому он не нулевой и подстановка допустима.

Типичные ошибки

Записывают sin 2x = 2 sin x, забывая множитель cos x. Так происходит, если механически удвоить синус, не выводя формулу из синуса суммы. Проверьте себя подстановкой x = 0: обе части правильной формулы равны нулю, но полезнее помнить вывод sin(x + x), где два слагаемых содержат cos x.

Путают равносильные записи cos 2x = 1 − 2 sin² x и cos 2x = 2 cos² x − 1, подставляя не ту функцию или теряя знак. Эти формулы отличаются тем, какая функция используется, хотя обе выражают cos 2x. Перед вычислением сверьте исходное значение с выбранной записью, а результат при необходимости проверьте другой формой.

Применяют формулу tg 2x, не проверив знаменатель 1 − tg² x. При tg² x = 1 дробь не определена, и деление на ноль недопустимо; также само tg x должно существовать. До подстановки проверьте оба условия, а после вычисления убедитесь, что значение не получено из запрещённого выражения.

При извлечении корня из формул половинного угла всегда выбирают плюс. Формула для sin²(x/2) или cos²(x/2) определяет квадрат, а не знак функции. Определите четверть угла x/2 и только затем выберите знак: проверьте, положителен или отрицателен там синус либо косинус.

Связь с другими темами

Для вывода формул двойного угла нужны формулы синуса и косинуса суммы, основное тригонометрическое тождество и определение тангенса как отношения синуса к косинусу. Поэтому полезно уверенно пользоваться этими темами и помнить, что деление требует ненулевого знаменателя. Новые равенства позволяют упрощать выражения и находить значения функций углов, связанных удвоением или делением пополам. Они также становятся инструментом при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений, где одну функцию требуется выразить через другую.

Что запомнить

• sin 2x = 2 sin x cos x.
• cos 2x можно выразить тремя равносильными способами: cos² x − sin² x, 2 cos² x − 1 или 1 − 2 sin² x.
• tg 2x = 2 tg x/(1 − tg² x), если знаменатель не равен нулю и tg x определён.
• sin²(x/2) = (1 − cos x)/2.
• cos²(x/2) = (1 + cos x)/2.
• Знак sin(x/2) и cos(x/2) определяют по четверти, в которой лежит x/2.
• Формулы для тангенса применяют только при допустимых значениях аргумента и ненулевых знаменателях.