"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Сумму или разность синусов и косинусов можно заменить произведением, если известны оба угла. Для этого находят их полусумму и полуразность, а затем подставляют их в одну из четырёх формул. Такие преобразования помогают упрощать выражения, находить точные значения и решать тригонометрические уравнения. Главное — верно выбрать формулу, сохранить множитель 2 и не перепутать знак в разности косинусов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма синусов — выражение sin α + sin β, которое можно преобразовать в произведение через полусумму и полуразность углов. Полусумма равна (α + β)/2, а полуразность — (α − β)/2. Такое представление полезно, когда сумму нужно упростить или вычислить её значение.
Разность синусов — выражение sin α − sin β, также представляемое произведением через полусумму и полуразность. Порядок углов здесь важен: α стоит первым, β — вторым. Преобразование помогает, например, получить множители, каждый из которых проще приравнять к нулю.
Сумма косинусов — выражение cos α + cos β, которое записывают как произведение косинусов полусуммы и полуразности с множителем 2. Полусумма отвечает за первый косинус, а полуразность — за второй. Эта запись удобна для упрощения выражений с двумя косинусами.
Разность косинусов — выражение cos α − cos β, представляемое как произведение синусов полусуммы и полуразности с отрицательным знаком. Знак минус перед произведением — часть формулы, его нельзя опускать. Преобразование позволяет заменить разность косинусов выражением, которое иногда проще вычислить или исследовать.
Полусумма и полуразность появляются не случайно. Если обозначить u = (α + β)/2 и v = (α − β)/2, то α = u + v, а β = u − v. Значит, в формулах сложения можно заменить углы α и β на u + v и u − v. Именно такое представление позволяет получить произведения с аргументами u и v.
Чтобы вывести формулу суммы синусов, подставим эти выражения в sin α + sin β. По формулам сложения получаем sin(u + v) + sin(u − v) = sin u cos v + cos u sin v + sin u cos v − cos u sin v. Слагаемые cos u sin v взаимно уничтожаются. Остаётся 2 sin u cos v, то есть удвоенное произведение синуса полусуммы на косинус полуразности.
Для разности синусов вычтем sin(u − v) из sin(u + v). После раскрытия скобок получим sin u cos v + cos u sin v − sin u cos v + cos u sin v. Слагаемые sin u cos v сокращаются, а два одинаковых слагаемых cos u sin v складываются. Поэтому sin α − sin β = 2 cos u sin v: множителями становятся косинус полусуммы и синус полуразности.
Для суммы косинусов используем cos(u + v) + cos(u − v). По формулам сложения это cos u cos v − sin u sin v + cos u cos v + sin u sin v. Слагаемые с синусами сокращаются, остаётся 2 cos u cos v. При вычитании косинусов получается cos(u + v) − cos(u − v) = −2 sin u sin v, поэтому в формуле разности косинусов перед произведением стоит минус.
Выбирая формулу, сначала определите вид выражения: синусы или косинусы, сумма или разность. Затем подставьте исходные α и β в полусумму и полуразность именно в этом порядке. Для самопроверки проследите за множителем 2 и отдельно проверьте знак: минус перед произведением появляется только в формуле cos α − cos β. Если сомневаетесь, вывод через u и v покажет, откуда берётся знак.
| Исходное выражение | Преобразование в произведение | Полусумма и полуразность |
|---|---|---|
| sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) | sin полусуммы · cos полуразности |
| sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) | cos полусуммы · sin полуразности |
| cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) | cos полусуммы · cos полуразности |
| cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) | − sin полусуммы · sin полуразности |
Найдите в первом столбце точное совпадение с исходным выражением, затем используйте формулу из второго. В третьем столбце показано, какие функции относятся к полусумме и полуразности; множитель 2 и знак минус также нужно сохранить.
Здесь складываются синусы, поэтому применяем формулу суммы синусов. Сначала вычислим полусумму и полуразность данных углов. Затем подставим их в формулу и найдём точное значение произведения.
Ответ: sin 75° + sin 15° = √6/2.
В выражении дана разность косинусов, поэтому используем соответствующую формулу со знаком минус. Углы нужно подставить в порядке записи: α = 5x, β = x. После вычисления полусуммы и полуразности получаем произведение.
Ответ: −2 sin 3x sin 2x.
Преобразуем сумму синусов в произведение, чтобы воспользоваться правилом: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Сначала находим оба множителя, затем решаем соответствующие уравнения и оставляем только корни заданного отрезка. В конце проверяем, нет ли совпадающих решений.
Ответ: x ∈ {0, π/2, π, 3π/2, 2π}.
Полусумму и полуразность можно перепутать местами, особенно если автоматически вспоминать аргументы формулы. Из-за этого синус или косинус окажется не у того угла. Записывайте обе величины отдельно: сначала (α + β)/2, затем (α − β)/2, и только после этого подставляйте их.
При преобразовании иногда теряют множитель 2 перед произведением. Обычно это происходит, когда складываются два одинаковых слагаемых после применения формул сложения. Проверьте вывод или подставьте простые значения углов в исходное выражение и в результат: равенство должно сохраниться.
В формуле cos α − cos β легко поставить неверный знак. Поскольку сумма косинусов имеет положительный знак, её иногда вспоминают вместо разности; однако cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Проверка на α = 0 и β = π даёт 2, а выражение без минуса дало бы −2.
Запись аргумента тоже требует аккуратности: (α − β)/2 означает, что на 2 делится вся разность. Если написать α − β/2, получится другая величина. Ставьте скобки до деления и после подстановки раскрывайте их только затем.
Для вывода этих формул нужны формулы сложения синуса и косинуса, а для дальнейших вычислений — значения тригонометрических функций и основные тождества. Если они знакомы, преобразования легко проверить обратным раскрытием произведения. Полезно уверенно работать и с градусной, и с радианной мерой угла.
Формулы применяются при упрощении тригонометрических выражений и переводе суммы или разности в произведение. Это часто делает вычисления короче и помогает выделить множители. В частности, при решении уравнений после преобразования можно приравнять к нулю каждый множитель.
Приёмы пригодятся для доказательства тождеств и связаны с формулами преобразования произведения синусов и косинусов в сумму. Одна группа формул переводит сумму в произведение, другая позволяет выполнить обратное преобразование. Вместе они дают возможность выбирать более удобный вид выражения.
Почему в формулах используются именно полусумма и полуразность углов?
Если обозначить полусумму через u = (α + β)/2, а полуразность через v = (α − β)/2, то α = u + v и β = u − v. Поэтому формулы сложения для углов α и β можно выразить через u и v, то есть через полусумму и полуразность.
Как быстро определить, какую из четырёх формул нужно применить?
Сначала посмотрите, какая функция дана: синус или косинус, затем — сумма или разность. Например, для sin α − sin β нужна формула разности синусов, а для cos α + cos β — сумма косинусов. После выбора подставьте α и β в указанном порядке.
Почему в формуле разности косинусов появляется знак минус?
При вычитании формул сложения косинусов слагаемые с косинусом полусуммы сокращаются, а оставшаяся разность косинусов полуразности даёт отрицательный множитель. Поэтому cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2).
Можно ли использовать эти формулы, если углы заданы в радианах?
Да, формулы верны и для градусов, и для радиан. Важно лишь не смешивать единицы измерения в одном вычислении и правильно делить углы пополам.
Как преобразовать полученное произведение обратно в сумму или разность?
Используйте те же равенства в обратном направлении: например, 2 sin u cos v можно представить как sin(u + v) + sin(u − v). Для обратного преобразования подберите углы α = u + v и β = u − v.
9.4. Сумма и разность синусов и косинусов
