"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Суммы и разности синусов и косинусов можно заменить произведением тригонометрических функций. Для этого используют полусумму и полуразность двух углов. Такие преобразования упрощают вычисления, помогают находить значения выражений и решать тригонометрические уравнения. Главное — правильно выбрать формулу, сохранить порядок углов и не потерять знак минус в разности косинусов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма синусов — выражение sin α + sin β, которое можно преобразовать в произведение. После преобразования вместо сложения получают два множителя: синус полусуммы углов и косинус их полуразности. Это удобно для вычислений и дальнейшего решения уравнений.
Разность синусов — выражение sin α − sin β, также представимое в виде произведения. В этой формуле используются косинус полусуммы и синус полуразности. Определённый порядок углов важен, потому что при перестановке слагаемых меняется знак всей разности.
Сумма косинусов — выражение cos α + cos β, которое заменяют удвоенным произведением косинусов полусуммы и полуразности. Такое представление часто делает вычисления короче. Оно особенно полезно, когда новые углы имеют известные значения.
Разность косинусов — выражение cos α − cos β, преобразуемое в произведение с отрицательным знаком. В результате получают −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Минус нельзя опускать: без него получится уже другая формула.
Начнём с формул синуса суммы и разности: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β и sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Если сложить эти равенства, слагаемые с cos α sin β уничтожатся, а одинаковые слагаемые sin α cos β удвоятся. Так появляется произведение, в котором затем вводят полусумму и полуразность углов.
Пусть u = (α + β)/2 и v = (α − β)/2. Тогда α = u + v, а β = u − v, поэтому два исходных угла выражаются через их среднее и половину разности. Именно поэтому в правых частях формул встречаются u и v, то есть (α + β)/2 и (α − β)/2. Такой переход позволяет применить формулы суммы и разности к самим углам α и β.
Из сложения формул для синусов получается sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2). При вычитании синусов один из множителей меняется местами: sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2). Разница объясняется тем, какие слагаемые остаются после сложения или вычитания исходных формул.
Для косинусов используют cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β и cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Сложение этих равенств оставляет произведение косинусов, поэтому cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2). При вычитании остаётся разность произведений синусов, которая после преобразования даёт формулу для разности косинусов.
В результате cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Отрицательный знак возникает из-за порядка вычитания: разность синусов в промежуточном выражении имеет противоположную ориентацию. Чтобы выбрать формулу, сначала определите функцию и знак между выражениями, а затем проверьте полусумму, полуразность и общий знак.
| Вид выражения | Исходная сумма или разность | Произведение после преобразования |
|---|---|---|
| Сумма синусов | sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| Разность синусов | sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
| Сумма косинусов | cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) |
| Разность косинусов | cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) |
Сначала найдите в исходном выражении функцию и знак между двумя углами. Затем вычислите полусумму и полуразность, не меняя порядок α − β без необходимости. После записи результата можно раскрыть множители или использовать их для дальнейшего решения.
Задача 1. Упростить выражение sin 75° + sin 15°. Здесь дана сумма синусов, поэтому нужно найти полусумму и полуразность углов, а затем вычислить известные значения.
Ответ: √6/2. Преобразование оказалось полезным, потому что углы 45° и 30° имеют табличные значения.
Задача 2. Преобразовать cos x + cos 3x и найти значение при x = π/6. Это сумма косинусов, поэтому в произведении будут два косинуса.
Ответ: 2 cos 2x cos x; при x = π/6 значение равно √3/2. Чётность косинуса позволяет заменить cos(−x) на cos x.
Задача 3. Решить sin x − sin 3x = 0 на отрезке [0; 2π]. Разность синусов нужно превратить в произведение, чтобы применить правило равенства произведения нулю.
Ответ: 0, π/4, 3π/4, 3π/4, π, 5π/4, 7π/4, 2π. В записи ответа значение 3π/4 учитывается один раз: полный набор корней — 0, π/4, 3π/4, π, 5π/4, 7π/4, 2π.
Путают полусумму и полуразность, записывая два одинаковых выражения. Так происходит при механическом запоминании шаблона без проверки углов. Сначала вычислите α + β и α − β отдельно, а затем разделите оба результата на 2.
Теряют минус в формуле cos α − cos β. Ошибка возникает потому, что формулы суммы и разности косинусов похожи по виду. Проверьте знак исходного выражения: для разности косинусов перед произведением обязательно стоит −.
Меняют порядок углов в разности без изменения знака. Выражения sin α − sin β и sin β − sin α противоположны, поэтому перестановка меняет результат. Для проверки сравните порядок углов в исходной записи и в полуразности.
Находят не все корни уравнения после разложения произведения. Иногда решают только первое уравнение и забывают о втором множителе. Запишите оба случая, а затем отберите решения, принадлежащие заданному промежутку.
До изучения формул нужны формулы синуса и косинуса суммы и разности углов. Также полезно знать значения основных тригонометрических функций и свойства чётности синуса и косинуса.
Эти преобразования применяются при упрощении тригонометрических выражений и вычислении их значений. Замена суммы произведением особенно удобна в уравнениях, где затем можно приравнять к нулю каждый множитель.
Тема продолжает переходы между разными видами тригонометрических выражений. Позже те же формулы помогут преобразовывать более сложные выражения и выбирать удобный способ решения задач.
Почему в формулах появляются полусумма и полуразность углов?
При сложении формул синуса или косинуса суммы и разности углов удобно обозначить половину их суммы и половину их разности. Поэтому исходные углы выражаются через эти две величины, а формулы сводятся к произведениям.
Как не перепутать формулы суммы и разности синусов?
В сумме синусов первым множителем является синус полусуммы, а вторым — косинус полуразности. В разности синусов порядок меняется: появляются косинус полусуммы и синус полуразности.
Почему в формуле разности косинусов появляется минус?
При вычитании формул косинуса суммы и разности углов разность синусов преобразуется с противоположным знаком. Поэтому перед произведением в формуле cos α − cos β обязательно стоит минус.
Можно ли применять эти формулы при углах в радианах и в градусах?
Да, формулы работают и для градусов, и для радиан. Нужно только использовать одну и ту же единицу измерения во всём выражении.
Как использовать формулы суммы и разности для решения уравнений?
Сначала сумму или разность преобразуют в произведение. Затем применяют правило: произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю, и объединяют все корни на заданном промежутке.
4. Сумма и разность синусов и косинусов
