"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Синус суммы и разности позволяет находить синус угла, если он представлен через два других угла. Главные формулы связывают синусы и косинусы исходных углов: для суммы используется знак плюс, для разности — минус. Эти правила нужны, чтобы вычислять значения вроде sin 75°, упрощать тригонометрические выражения и переходить к более сложным формулам и уравнениям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус суммы углов — значение синуса угла, представленного как сумма двух углов α и β: sin(α + β). Это обозначение говорит, что сначала складывают углы, а затем находят синус результата. Формула помогает заменить один сложный синус выражением через известные значения двух углов.
Синус разности углов — значение синуса угла, представленного как разность α и β: sin(α − β). Здесь из первого угла вычитают второй, после чего рассматривают синус получившегося угла. Такое представление удобно, когда разность является табличным углом или позволяет использовать известные значения.
Формула синуса суммы имеет вид sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β. Она показывает, что синус суммы состоит не из двух отдельных синусов, а из двух произведений. С её помощью можно вычислять значения углов, для которых напрямую нет готового табличного значения.
Формула синуса разности записывается так: sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β. В ней сохраняются те же два произведения, но между ними появляется знак минус. Формула нужна для раскрытия синуса разности и вычислений по известным синусам и косинусам.
Нельзя складывать синусы только потому, что внутри скобок стоит сумма: синус является функцией, а значение функции от суммы обычно не равно сумме значений. Например, sin 90° = 1, тогда как sin 45° + sin 45° = √2, и эти числа различны. Поэтому для суммы углов требуется специальное правило, учитывающее одновременно синусы и косинусы.
Формулы можно получить с помощью единичной окружности. Точке, соответствующей углу α, отвечают координаты (cos α, sin α), а поворот этой точки ещё на угол β меняет обе координаты по правилам поворота. У второй координаты после такого поворота получается sin α · cos β + cos α · sin β, поэтому она и равна sin(α + β).
Выражение для синуса суммы состоит из двух произведений. Первое — sin α · cos β: синус первого угла умножается на косинус второго. Второе — cos α · sin β: косинус первого угла умножается на синус второго, а затем произведения складываются.
Для разности можно считать, что второй угол берётся со знаком минус: α − β = α + (−β). При смене знака угла его синус меняет знак, а косинус сохраняет значение: sin(−β) = −sin β и cos(−β) = cos β. Поэтому первое произведение остаётся прежним, а перед вторым появляется минус.
Если синусы и косинусы углов уже известны, нужно только подставить их в подходящую формулу. Например, при известных sin α, cos α, sin β и cos β вычисляют два произведения, а затем складывают или вычитают их. Такой порядок уменьшает риск перепутать множители и знак.
В таблице сначала найдите вид выражения, затем сопоставьте ему левую часть и раскрытие. В строке общего порядка удобно проверять: выбран ли знак, не перепутаны ли первый и второй углы, все ли четыре значения подставлены. Последняя строка показывает, как быстро проверить формулу на простом случае.
| Случай | Левая часть | Раскрытие | Знак между слагаемыми |
|---|---|---|---|
| Синус суммы | sin(α + β) | sin α · cos β + cos α · sin β | Плюс |
| Синус разности | sin(α − β) | sin α · cos β − cos α · sin β | Минус |
| Общий порядок применения формулы | sin(выражение) | Представить угол, выбрать формулу, подставить значения | Зависит от знака в угле |
| Проверка результата на простом частном случае | sin(α + 0) | sin α · 1 + cos α · 0 = sin α | Плюс |
Нужно заменить 75° суммой углов, для которых известны синус и косинус. Углы 45° и 30° подходят, потому что 45° + 30° = 75°. После этого применяем формулу синуса суммы.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4.
Сначала раскрываем скобки по формуле, не подставляя конкретное значение x. Это позволяет получить выражение через sin x и cos x, а затем отдельно выполнить вычисление. Угол π/6 является табличным.
Ответ: sin(x + π/3) = ½ sin x + (√3/2) cos x; при x = π/6 значение равно 1.
В условии уже даны все четыре значения, необходимые для формулы разности. Острый угол дополнительно подтверждает, что указанные положительные значения согласуются с расположением углов. Подставляем числа в том же порядке, в каком стоят множители.
Ответ: sin(α − β) = 16/65.
Ошибка 1. Записывают sin(α + β) = sin α + sin β, потому что переносят обычное раскрытие скобок внутрь функции. Но синус суммы подчиняется специальной формуле с двумя произведениями. Проверяйте себя: в правильной записи должны присутствовать и синусы, и косинусы обоих углов.
Ошибка 2. Меняют местами синус и косинус в произведениях, например пишут cos α · cos β. Так происходит, когда формулу пытаются запомнить без понимания её структуры. Проверьте каждый множитель: сначала sin первого · cos второго, затем cos первого · sin второго.
Ошибка 3. Забывают минус в формуле разности или ставят его перед обоими слагаемыми. Причина — невнимательное чтение знака между α и β. Перепишите формулу целиком и убедитесь, что минус стоит только между двумя произведениями.
Ошибка 4. Неправильно выбирают представление угла и подставляют неподходящие табличные значения. Например, запись должна действительно давать исходный угол, а не близкое к нему число. Перед вычислением проверьте сумму или разность выбранных углов и их единицы измерения.
До изучения формул нужны определения синуса и косинуса, их табличные значения, а также понимание действий с углами. Без этих знаний трудно правильно выбрать разложение и выполнить подстановку.
Формулы применяются при вычислении тригонометрических выражений и их преобразовании. Они позволяют заменить синус сложного угла комбинацией более простых значений.
Эта тема подготавливает к формулам косинуса суммы и разности. В дальнейшем такие преобразования используются и при решении тригонометрических уравнений.
Почему sin(α + β) нельзя заменить на sin α + sin β?
Синус не распределяется по сложению так, как обычное умножение распределяется по скобкам. Правильная формула содержит два произведения: sin α · cos β и cos α · sin β.
Как не перепутать формулы синуса суммы и синуса разности?
Сначала посмотрите на знак между углами: в записи α + β между произведениями будет плюс, а в записи α − β — минус. Порядок синуса и косинуса в произведениях при этом не меняется.
Почему в первом произведении стоит sin α · cos β, а не cos α · sin β?
Это не случайный выбор, а результат сложения координат точки на единичной окружности или поворота на два угла. Второе произведение cos α · sin β тоже входит в формулу, но оно образует второе слагаемое.
Как представить угол так, чтобы удобно применить формулу?
Ищите сумму или разность табличных углов, значения синусов и косинусов которых известны. Например, 75° удобно записать как 45° + 30°, а π/12 — как π/3 − π/4.
Можно ли использовать эти формулы, если углы заданы в радианах?
Да, формулы работают и в градусах, и в радианах. Нужно только не смешивать единицы измерения и использовать соответствующие табличные значения.
3. Синус суммы и синус разности двух углов
