"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Синус суммы и синус разности позволяют найти синус α + β или α − β через синусы и косинусы отдельных углов. Эти формулы применимы для любых углов и особенно полезны, когда сумму или разность можно представить через известные значения, например 30°, 45°, 60° или π/3. Главное — правильно сохранить знак между слагаемыми.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус суммы двух углов — это формула, которая выражает sin(α + β) через синусы и косинусы углов α и β: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Иными словами, вместо вычисления синуса сразу сложенного угла находят значения функций для каждого угла отдельно. Это нужно, когда α и β являются известными углами, а значение синуса их суммы требуется получить точно.
Синус разности двух углов выражается формулой sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. В ней используются те же произведения, что и в формуле суммы, но перед вторым произведением стоит знак минус. Такая запись помогает вычислять синус угла, представленного как разность двух удобных углов.
Углы α и β — произвольные углы, то есть формулы не ограничены только острыми углами или углами из первой четверти. Они верны при любых допустимых значениях α и β, измеренных в градусах или радианах. Поэтому формулы можно применять и к отрицательным, тупым углам, а также к углам, большим полного оборота.
Формулы сложения связывают значения тригонометрических функций отдельных углов с функцией их суммы или разности. При этом синус нового угла не раскладывается в сумму двух синусов: появляются произведения синуса одного угла на косинус другого и наоборот. Причина такой структуры связана с тем, как координаты точки на единичной окружности изменяются при поворотах на α и β.
Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Используем тождество sin x = cos(π/2 − x): sin(α + β) = cos(π/2 − α − β). Перепишем аргумент как (π/2 − α) − β и применим формулу cos(u − v) = cos u cos v + sin u sin v. Получаем cos(π/2 − α)cos β + sin(π/2 − α)sin β = sin α cos β + cos α sin β, поскольку cos(π/2 − α) = sin α, а sin(π/2 − α) = cos α.
Формула синуса разности получается из уже найденной формулы суммы заменой β на −β. Тогда sin(α + (−β)) = sin α cos(−β) + cos α sin(−β). Косинус является чётной функцией, поэтому cos(−β) = cos β, а синус нечётный, поэтому sin(−β) = −sin β. После подстановки выходит sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β.
Знак в первом произведении не меняется, потому что оно имеет вид sin α cos β и присутствует в обеих формулах. Во втором произведении находится sin β, а при замене β на −β именно синус меняет знак. Поэтому знак второго слагаемого совпадает со знаком между углами: плюс у суммы и минус у разности.
Чтобы применить формулу, сначала представьте нужный угол как сумму или разность двух углов с известными значениями синуса и косинуса. Затем запишите соответствующую формулу, подставьте значения и отдельно вычислите каждое произведение. Такой порядок уменьшает риск перепутать функции и знак, особенно когда в выражении встречаются отрицательные углы.
| Выражение | Формула | Знак между слагаемыми |
|---|---|---|
| sin(α + β) | sin α cos β + cos α sin β | Плюс в обоих местах |
| sin(α − β) | sin α cos β − cos α sin β | Минус в обоих местах |
Сначала определите, стоит ли в аргументе сумма или разность, а затем выберите соответствующую строку таблицы. В обеих строках первое произведение одинаково, поэтому особое внимание нужно уделить второму произведению и его знаку. После подстановки значения α и β раскрывать дополнительные скобки не требуется: достаточно вычислить два произведения и сложить или вычесть их.
Нужно вычислить синус угла 75°, значения которого обычно находят через сумму двух табличных углов. Представим 75° как 45° + 30°, чтобы использовать известные значения синусов и косинусов. Поскольку перед нами сумма, выбираем формулу синуса суммы.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4. Плюс между произведениями появился потому, что 75° представлено именно как сумма. В конце удобно привести слагаемые к общему знаменателю.
Угол 15° удобно записать как 45° − 30°. Теперь требуется формула синуса разности, поэтому второе произведение будет вычитаться. Это позволяет получить точное значение без использования приближённого калькулятора.
Ответ: sin 15° = (√6 − √2)/4. Знак минус сохраняется перед всем вторым произведением, а не только перед одним из его множителей. Если поставить там плюс, получится значение синуса 75°, а не 15°.
В выражении присутствует синус суммы, поэтому его нужно раскрыть по формуле, не меняя порядок множителей. После этого появится слагаемое, которое сократится с уже имеющимся вычитаемым. Угол π/3 выбран удачно, потому что его косинус известен.
Ответ: √3/2 cos x. Здесь не нужно раскрывать какие-либо другие формулы: достаточно заметить одинаковые противоположные слагаемые. Порядок действий показывает, зачем формула суммы полезна при преобразовании выражений.
Первая ошибка — менять знак только в одном месте формулы разности: sin α cos β − cos α sin β. Её допускают, когда запоминают правило «у разности должен быть минус», но забывают сохранить целое второе произведение. Проверяйте себя так: после знака минус должны стоять и cos α, и sin β, соединённые умножением.
Вторая ошибка — записывать во втором слагаемом cos α cos β вместо cos α sin β. Так происходит из-за смешения формулы синуса с формулами для других тригонометрических выражений. Проверьте, что в формуле синуса один множитель является синусом, а другой — косинусом, и во втором произведении синусом является функция угла β.
Третья ошибка — считать, что sin(α + β) = sin α + sin β. Такое рассуждение выглядит естественно по аналогии с обычным раскрытием скобок, но тригонометрические функции не обладают этим свойством. Для проверки подставьте α = β = 30°: sin 60° не равен sin 30° + sin 30°.
Четвёртая ошибка — неверно работать с отрицательным углом. Синус нечётен: sin(−β) = −sin β, а косинус чётен: cos(−β) = cos β. При подстановке −β сначала примените эти два правила отдельно, а затем проверьте знак всего второго произведения.
До изучения формул нужны табличные значения синуса и косинуса, свойства чётности и нечётности функций, а также формула косинуса разности. Эти знания объясняют вывод формул и помогают уверенно работать с отрицательными углами.
Формулы синуса суммы и разности применяются при преобразовании тригонометрических выражений и вычислении точных значений. Они также используются при решении тригонометрических уравнений, когда сложный аргумент нужно заменить выражением через более простые функции.
Как запомнить формулы синуса суммы и разности?
В обеих формулах первым слагаемым записывают sin α cos β, а вторым — cos α sin β. Знак перед вторым слагаемым совпадает со знаком между углами: плюс для суммы и минус для разности.
Почему в формуле синуса разности перед вторым слагаемым стоит минус?
Формула разности получается из формулы суммы, если заменить β на −β. При этом sin(−β) = −sin β, поэтому второе слагаемое меняет знак, а cos(−β) = cos β не меняется.
Можно ли раскрыть sin(α + β) как sin α + sin β?
Нет, синус суммы не равен сумме синусов. Правильная формула содержит произведения: sin α cos β + cos α sin β.
Как найти синус угла, который удобно представить суммой известных углов?
Представьте угол как α + β, выберите известные углы и примените формулу синуса суммы. Затем подставьте табличные значения синусов и косинусов и выполните вычисления.
Как изменится формула, если один из углов заменить противоположным?
При замене β на −β синус β меняет знак, а косинус β сохраняет знак. Поэтому формула синуса суммы превращается в формулу синуса разности.
9.3. Синус суммы и синус разности двух углов
