"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Формулы двойного и половинного углов связывают значения тригонометрических функций угла α со значениями для 2α и α/2. Они помогают находить точные значения синуса, косинуса и тангенса, преобразовывать выражения и решать уравнения. Главное — помнить несколько равносильных формул для cos 2α, проверять область допустимых значений тангенса и выбирать знак корня по четверти, в которой находится половина угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы двойного угла выражают sin 2α, cos 2α и tg 2α через функции угла α. Число 2α означает угол, вдвое больший α, а не квадрат функции. Эти формулы нужны, чтобы вычислять значения для двойного угла, когда известны синус, косинус или тангенс исходного угла.
Формулы половинного угла выражают sin(α/2), cos(α/2) и tg(α/2) через функции угла α. Здесь α/2 — половина угла, а не половина значения синуса или косинуса. Формулы помогают находить точные значения функций для углов, которые удобно представить как половину известного угла.
Основное тригонометрическое тождество — равенство sin²α + cos²α = 1. Оно связывает квадраты синуса и косинуса одного угла и позволяет заменять один квадрат через другой. Благодаря этому одну и ту же формулу косинуса двойного угла можно записать несколькими способами.
Знак корня в формулах половинного угла выбирают по знаку синуса или косинуса угла α/2. Само извлечение корня из квадрата даёт два возможных знака, а положение угла на координатной окружности помогает выбрать нужный. Это необходимо, чтобы формула дала правильное значение, а не только его модуль.
Формулы сложения позволяют найти синус и косинус суммы двух углов. Чтобы получить формулы для двойного угла, в них подставляют β = α: тогда α + β превращается в 2α. Например, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β становится равенством sin 2α = 2sin α cos α. Для косинуса та же подстановка даёт cos 2α = cos²α − sin²α.
У cos 2α есть три равносильных записи, потому что квадраты синуса и косинуса дополняют друг друга до единицы. Если в выражении cos²α − sin²α заменить cos²α на 1 − sin²α, получится 1 − 2sin²α. Если заменить sin²α на 1 − cos²α, получится 2cos²α − 1. Поэтому можно выбрать вид, в котором проще подставить известное значение.
Формулу тангенса двойного угла получают делением sin 2α на cos 2α, ведь tg 2α = sin 2α / cos 2α. После подстановки формул синуса и косинуса и деления на cos²α получается tg 2α = 2tg α / (1 − tg²α). Делить можно только при ненулевом знаменателе: нужны cos α ≠ 0 и 1 − tg²α ≠ 0. Кроме того, tg 2α существует лишь при cos 2α ≠ 0.
Для формул половинного угла в формулах двойного угла заменяют α на α/2, так что двойным углом становится α. Например, cos α = 1 − 2sin²(α/2), откуда sin²(α/2) = (1 − cos α)/2. Аналогично из cos α = 2cos²(α/2) − 1 получают cos²(α/2) = (1 + cos α)/2. Эти равенства дают квадрат функции, а не сразу её значение.
Чтобы перейти от квадрата к самой функции, извлекают корень и учитывают знак. Например, sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2), а cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2). Знак зависит от четверти угла α/2, поскольку именно она определяет, положительна функция или отрицательна. Если четверть не установлена, выбирать знак наугад нельзя.
| Функция | Формула двойного угла | Формула половинного угла | Условия и замечания |
|---|---|---|---|
| sin | sin 2α = 2sin α cos α | sin(α/2) = ±√((1 − cos α)/2) | Знак выбирают по четверти α/2. |
| cos | cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α | cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2) | Знак выбирают по четверти α/2. |
| tg | tg 2α = 2tg α/(1 − tg²α) | tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) | Для двойного угла нужны cos α ≠ 0 и 1 − tg²α ≠ 0; тангенс результата должен быть определён. Для половинного угла в этой записи нужно 1 + cos α ≠ 0. |
| Знаки квадратных корней в формулах половинного угла | Не применяются | Перед корнем ставят «+» или «−» по знаку функции | Знак синуса или косинуса определяют по четверти угла α/2. |
Сначала выбери строку нужной функции, затем проверь условия в последнем столбце. Для косинуса двойного угла используй ту равносильную запись, где известен нужный квадрат. В формулах половинного угла не забывай установить знак корня по четверти.
Задача 1. Найти sin 2α и cos 2α, если sin α = 3/5, cos α = 4/5. Оба значения положительны, поэтому α находится в первой четверти, и знаки результатов можно проверить по формулам. Угол 2α при этом может выйти из первой четверти, так что ориентироваться нужно на вычисление, а не на предположение.
Ответ: sin 2α = 24/25, cos 2α = 7/25. Проверка: (24/25)² + (7/25)² = 1, значит найденные значения согласуются с основным тригонометрическим тождеством.
Задача 2. Найти точное значение cos 15°. Угол 15° можно представить как половину угла 30°, для которого косинус известен. Поскольку 15° лежит в первой четверти, косинус положителен, поэтому выбираем знак «+» перед корнем.
Ответ: cos 15° = √(2 + √3)/2. Положительное значение выбрано потому, что угол 15° находится в первой четверти.
Задача 3. Решить на отрезке [0; 2π] уравнение 2sin x cos x = √3/2. Левая часть совпадает с формулой синуса двойного угла, поэтому уравнение можно переписать через sin 2x. После решения нужно учесть, что x ограничен заданным отрезком.
Ответ: x ∈ {π/6; π/3; 7π/6; 4π/3}. Проверка промежутка обязательна: общие решения тригонометрического уравнения сами по себе не гарантируют, что каждое из них лежит на заданном отрезке.
Записывают cos 2α только как 2cos²α, забывая вычесть 1. Так происходит, когда из формулы cos²α − sin²α заменяют sin²α, но теряют часть выражения: правильно 2cos²α − 1. Проверь равенство подстановкой простого угла, например α = 0: косинус двойного угла должен быть равен 1.
Применяют формулу tg 2α, не проверяя знаменатель. Если cos α = 0, то tg α вообще не определён; если 1 − tg²α = 0, в формуле возникает деление на ноль. Перед вычислением проверь оба условия, а затем убедись, что cos 2α ≠ 0, иначе тангенс результата не существует.
В формулах половинного угла автоматически ставят перед корнем плюс. Причина — привычка считать арифметический квадратный корень положительным, но сама функция угла может быть отрицательной. Определи четверть α/2 и сравни знак функции в ней со знаком выбранного корня.
Путают sin²α с sin 2α, а cos²α — с cos 2α. В первом случае возводят значение функции в квадрат, во втором находят функцию от удвоенного угла; выражения не взаимозаменяемы. Прочитай запись вслух и проверь по формуле: например, sin 2α = 2sin α cos α, а sin²α = (sin α)².
Для вывода формул двойного угла нужны формулы сложения, а для преобразования косинуса и формул половинного угла — основное тождество sin²α + cos²α = 1. Выбор знаков опирается на знание знаков тригонометрических функций по четвертям. Освоенные формулы затем помогают находить точные значения, упрощать тригонометрические выражения и решать уравнения, в которых встречаются произведения вроде 2sin x cos x.
Почему у cos 2α есть несколько разных формул?
Из формулы cos 2α = cos²α − sin²α можно получить другие виды, подставив sin²α + cos²α = 1. Поэтому cos 2α = 2cos²α − 1 и cos 2α = 1 − 2sin²α — равносильные записи. Выбирай ту, в которой уже известен нужный квадрат.
Как понять, какой знак ставить перед корнем в формуле половинного угла?
Сначала определи четверть, в которой находится угол α/2. В I четверти синус и косинус положительны, во II синус положителен, а косинус отрицателен. Знак перед корнем выбирается по знаку именно той функции, которую находишь.
Можно ли применять формулу tg 2α, если известны только sin α и cos α?
Можно, если сначала вычислить tg α = sin α / cos α и cos α ≠ 0. Затем проверь, что 1 − tg²α ≠ 0: иначе формула с делением неприменима. Также сам tg 2α определён только при cos 2α ≠ 0.
Чем sin²α отличается от sin 2α?
sin²α — это квадрат значения синуса: (sin α)². А sin 2α — синус удвоенного угла, который равен 2sin α cos α. Это разные выражения, даже если в записи у них похожие символы.
Как выбрать формулу двойного угла, чтобы вычисления были короче?
Посмотри, какие значения известны и какой результат нужен. Для sin 2α нужны sin α и cos α, а для cos 2α удобно выбрать форму с известным sin²α или cos²α. Формулу для тангенса используй, если известен tg α и проверены условия её применимости.
5. Формулы для двойных и половинных углов
