"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Произведения sin α · sin β, cos α · cos β и sin α · cos β удобно заменять суммой или разностью тригонометрических функций. Такие преобразования называют формулами приведения произведений к сумме. Они помогают упростить выражения, сократить одинаковые слагаемые и свести уравнения к более знакомому виду. Главное — различать знаки, правильно находить сумму и разность углов и не забывать множитель ½.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение синусов — выражение вида sin α · sin β. Его заменяют разностью косинусов разности и суммы углов: ½(cos(α − β) − cos(α + β)). Это нужно, когда после преобразования требуется объединить или сократить косинусы.
Произведение косинусов — выражение cos α · cos β. Оно превращается в полусумму косинусов разности и суммы: ½(cos(α − β) + cos(α + β)). Такая запись удобна, если в выражении уже есть косинусы с похожими аргументами.
Произведение синуса и косинуса имеет вид sin α · cos β или cos α · sin β. В результате получаются синусы суммы и разности углов, причём знак зависит от порядка множителей. Формула помогает заменить произведение более простой суммой тригонометрических выражений.
Преобразование произведения тригонометрических функций — это замена произведения синусов и косинусов суммой или разностью. Греческие буквы α и β обозначают любые углы, а ½ означает половину полученного выражения. Цель преобразования — сделать дальнейшее упрощение или решение уравнения удобнее.
Начнём с формул косинуса суммы и разности: cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β, а cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β. Если сложить эти равенства, слагаемые с синусами уничтожатся, а произведение косинусов появится дважды: cos(α + β) + cos(α − β) = 2cos α · cos β. Деление на 2 даёт формулу cos α · cos β = ½(cos(α − β) + cos(α + β)).
Чтобы получить произведение синусов, из второй формулы вычтем первую. Произведения косинусов сократятся, а sin α · sin β останется с коэффициентом 2: cos(α − β) − cos(α + β) = 2sin α · sin β. Поэтому sin α · sin β = ½(cos(α − β) − cos(α + β)); минус возникает именно из-за вычитания формул.
Для смешанных произведений используют формулы синуса суммы и разности: sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β и sin(α − β) = sin α · cos β − cos α · sin β. Сложение этих равенств оставляет два произведения sin α · cos β, поэтому получается sin α · cos β = ½(sin(α + β) + sin(α − β)). Если равенства вычесть, то выйдет cos α · sin β = ½(sin(α + β) − sin(α − β)).
Полусумма и полуразность появляются потому, что при сложении или вычитании исходных формул произведение повторяется два раза. Сначала в аргументах записывают сумму α + β и разность α − β, а затем определяют знак по виду произведения. У синусов знак между косинусами минус, у косинусов — плюс; для смешанных произведений нужно учитывать порядок синуса и косинуса.
Алгоритм выбора прост: посмотрите на два множителя, выберите строку таблицы и вычислите сумму и разность их аргументов. Обратное преобразование выполняют по тем же равенствам, только в противоположную сторону: например, ½(cos(α − β) − cos(α + β)) можно заменить на sin α · sin β. После этого раскройте скобки и сократите подобные слагаемые.
| Вид произведения | Формула преобразования | Результат |
|---|---|---|
| sin α · sin β | ½(cos(α − β) − cos(α + β)) | разность косинусов |
| cos α · cos β | ½(cos(α − β) + cos(α + β)) | полусумма косинусов |
| sin α · cos β | ½(sin(α + β) + sin(α − β)) | полусумма синусов |
| cos α · sin β | ½(sin(α + β) − sin(α − β)) | разность синусов |
Сначала определите вид произведения, затем найдите сумму и разность его углов. Если в исходном выражении множители стоят в другом порядке, используйте соответствующую строку и внимательно сохраните аргументы.
Таблица подходит и для обратного преобразования: выражение в правой части можно свернуть в произведение. После подстановки полезно проверить знак и множитель ½ по исходному виду.
Здесь стоят два синуса, поэтому нужна формула произведения синусов. Аргументы равны 5x и 2x; их разность равна 3x, а сумма — 7x. Подставим эти значения, сохранив минус между косинусами.
Ответ: sin 5x · sin 2x = ½(cos 3x − cos 7x).
В первом слагаемом есть произведение косинусов, поэтому оно заменяется полусуммой. Сумма аргументов равна 10x, а разность — 4x; множитель 2 перед произведением сократит коэффициент ½. После этого один косинус 10x уничтожится с вычитаемым.
Ответ: cos 4x.
Произведение содержит синус и косинус, поэтому сначала заменим его полусуммой синусов. Сумма аргументов равна 6x, разность — 4x. После умножения обеих частей на 2 получаем уравнение sin 6x + sin 4x = 1; именно его нужно решать выбранным способом, например подбором корней на заданном промежутке или численно.
Ответ: решение исходного уравнения сводится к уравнению sin 6x + sin 4x = 1; конкретные корни определяют с учётом заданного промежутка.
Путают знак в формулах произведения синусов и косинусов, потому что у обеих формул стоят косинусы суммы и разности. Проверяйте вид произведения: два синуса дают минус, два косинуса — плюс. Можно также восстановить формулу сложением или вычитанием формул косинуса суммы и разности.
Забывают множитель ½ перед результатом. Такая ошибка появляется, когда замечают нужные сумму и разность, но не учитывают, что исходное произведение возникает два раза. Проверьте себя на простом случае α = β: без ½ формула для cos² α даст вдвое большее значение.
Неверно записывают аргументы: меняют сумму на разность или переставляют углы без учёта знака. Сначала отдельно вычислите α + β и α − β, а уже потом подставляйте их в формулу. Помните, что sin(−t) = −sin t, а cos(−t) = cos t.
Применяют формулу смешанного произведения к двум синусам или двум косинусам. Причина — внешнее сходство всех равенств и наличие одинакового множителя ½. Перед началом решения назовите вид произведения вслух: синус-синус, косинус-косинус или синус-косинус.
До этой темы нужно знать формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов: именно из них выводятся все четыре равенства. Полезны также свойства чётности и нечётности: косинус не меняется при смене знака аргумента, а синус меняет знак.
Преобразование произведений помогает упрощать тригонометрические выражения, сводить подобные слагаемые и решать уравнения. Оно связано с формулами двойного угла, которые получаются при равных углах.
Как не перепутать формулы произведения синусов и косинусов?
У произведения синусов перед косинусами стоит разность: sin α · sin β = ½(cos(α − β) − cos(α + β)). У произведения косинусов используется сумма: cos α · cos β = ½(cos(α − β) + cos(α + β)).
Почему в каждой формуле появляется множитель 1/2?
При сложении формул суммы и разности возникают два одинаковых произведения, но с коэффициентом 2. Чтобы вернуть исходное произведение, обе части равенства делят на 2.
Можно ли менять местами множители в произведении синуса и косинуса?
Да, умножение переместительно: sin α · cos β = cos β · sin α. Но при записи формулы нужно учитывать, какой угол является аргументом синуса, а какой — аргументом косинуса.
Какую формулу выбрать для произведения sin α · cos β?
Используйте формулу sin α · cos β = ½(sin(α + β) + sin(α − β)). Если записано cos α · sin β, то формула имеет вид ½(sin(α + β) − sin(α − β)).
Можно ли применять эти формулы при равных углах?
Да, формулы работают и при α = β. Например, sin² α = ½(1 − cos 2α), а cos² α = ½(1 + cos 2α).
6. Произведение синусов и косинусов
