"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Формулы для тангенсов позволяют находить тангенс суммы, разности и двойного угла через тангенсы отдельных углов. Они выводятся из формул сложения синуса и косинуса и помогают преобразовывать тригонометрические выражения, решать уравнения и выполнять вычисления без нахождения самих углов. Главное — правильно выбрать знак в знаменателе и проверить, что все тангенсы определены, а знаменатель не равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тангенс угла — это отношение синуса этого угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Он определён только при cos α ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя. Это условие нужно проверять, когда в задаче даны углы или их тригонометрические значения.
Формула тангенса суммы выражает тангенс угла α + β через тангенсы слагаемых: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β). Она применима, если tg α и tg β существуют, а знаменатель не равен нулю. Благодаря ей не нужно отдельно находить синус и косинус суммы.
Формула тангенса разности имеет вид tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β). Знаки в ней связаны с тем, что один угол вычитается из другого. Формула помогает вычислять тангенс разности, когда известны тангенсы α и β.
Формула двойного угла — это частный случай формулы суммы: tg 2α = 2tg α / (1 − tg² α). Она получается, если оба слагаемых сделать равными α. Поэтому для неё достаточно знать тангенс одного угла, но знаменатель также должен быть ненулевым.
Начнём с формул сложения синуса и косинуса: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β и cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. По определению тангенс суммы равен отношению этих выражений. Поэтому делим формулу для синуса на формулу для косинуса, предполагая, что нужные знаменатели существуют.
В полученной дроби вынесем cos α · cos β из числителя и знаменателя. В числителе останется tg α + tg β, а в знаменателе — 1 − tg α · tg β, потому что sin α sin β / (cos α cos β) = tg α · tg β. Так появляется формула tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β).
Для разности можно использовать уже полученную формулу суммы, заменив β на −β. Тангенс нечётная функция, поэтому tg(−β) = −tg β. Подстановка даёт tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β): в числителе возникает минус, а произведение в знаменателе меняет знак с минуса на плюс.
Ограничения появляются не случайно. Если тангенс α или β не определён, подстановка в формулу невозможна; если итоговый знаменатель равен нулю, тангенс суммы или разности не существует. Поэтому перед вычислением проверяют и исходные тангенсы, и знаменатель выбранного выражения.
Положим в формуле суммы β = α. Тогда α + β = 2α, числитель равен tg α + tg α = 2tg α, а произведение в знаменателе становится tg² α. Получаем tg 2α = 2tg α / (1 − tg² α), причём требуется tg α быть определённым и 1 − tg² α ≠ 0.
Формулы работают и в обратную сторону: по известному тангенсу суммы можно составлять уравнения относительно тангенсов слагаемых. При вычислениях сначала подставляют данные, затем упрощают числитель и знаменатель. Такой порядок снижает риск перепутать знак или потерять условие допустимости.
| Случай | Формула | Условия применения |
|---|---|---|
| Сумма углов | tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β) | Тангенсы α и β определены; 1 − tg α · tg β ≠ 0 |
| Разность углов | tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β) | Тангенсы α и β определены; 1 + tg α · tg β ≠ 0 |
| Двойной угол | tg 2α = 2tg α / (1 − tg² α) | tg α определён; 1 − tg² α ≠ 0 |
Сначала определите, какое действие выполняется с углами: сложение, вычитание или удвоение. Затем проверьте условия в третьем столбце и только после этого подставляйте значения.
Знаки удобно запоминать по действию: у суммы в знаменателе минус, у разности — плюс. В двойном угле числитель равен 2tg α, а не tg² α.
Найти tg(α + β), если tg α = 1/2 и tg β = 1/3. Используем формулу суммы, поскольку углы складываются. Сначала проверим знаменатель, чтобы убедиться, что вычисление допустимо.
Ответ: tg(α + β) = 1. Проверка знаменателя показывает, что формула применена корректно.
Найти tg(α − β), если tg α = 2 и tg β = 1/3. Порядок углов уже задан, поэтому в числителе должно стоять 2 − 1/3. Для разности используем плюс в знаменателе.
Ответ: tg(α − β) = 1. Если поменять порядок углов, результат изменит знак, поэтому запись условия нельзя игнорировать.
Найти tg 2α, если tg α = 3/4. Это частный случай суммы, поэтому применяем формулу двойного угла. Перед делением проверяем, что её знаменатель не обращается в ноль.
Ответ: tg 2α = 24/7. Условие допустимости выполнено, потому что 7/16 ≠ 0.
Первая ошибка — ставить в знаменателе формулы суммы плюс или в формуле разности минус. Её допускают, когда запоминают только числитель и механически повторяют его знак. Проверьте себя по формулам: сумма даёт 1 − tg α · tg β, разность — 1 + tg α · tg β.
Вторая ошибка — забывать о ненулевом знаменателе. Иногда ученик подставляет числа и сразу сокращает дробь, не заметив, что знаменатель равен нулю. Сначала вычислите его отдельно: если он нулевой, тангенс результата не определён.
Третья ошибка — записывать в числителе формулы двойного угла tg² α. При подстановке β = α складываются два одинаковых слагаемых, поэтому получается 2tg α. Сам квадрат появляется только в знаменателе как произведение tg α · tg α.
Четвёртая ошибка — заменять tg(α − β) на tg β − tg α. Такой порядок соответствует противоположной разности и меняет знак результата. Сверяйте порядок букв в условии с порядком слагаемых: сначала всегда идёт α, затем β.
До этой темы нужно знать определение тангенса и условие его существования: cos угла не должен быть равен нулю. Без этого нельзя понять ограничения формул и проверить допустимость ответа.
Основой вывода служат формулы сложения синуса и косинуса. Умение делить выражения и выносить общий множитель помогает получить формулу тангенса без заучивания.
Формулы применяются при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений. Они позволяют заменить тангенс сложного угла выражением через более простые известные значения.
Как вывести формулу тангенса суммы углов?
Записывают формулы sin(α + β) и cos(α + β), а затем делят первую на вторую. После вынесения cos α · cos β в знаменателе получают выражение (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β).
Почему в знаменателе формулы тангенса суммы стоит минус?
В формуле сложения косинуса присутствует разность: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. После деления на cos α cos β именно этот знак превращается в 1 − tg α · tg β.
Чем формула тангенса разности отличается от формулы суммы?
В числителе и знаменателе меняется знак: для разности получаем (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β). Порядок α − β нельзя заменять на β − α, поскольку тангенс меняет знак.
Как получить формулу тангенса двойного угла?
В формуле тангенса суммы нужно положить β = α. Тогда числитель становится tg α + tg α = 2tg α, а знаменатель — 1 − tg² α.
Какие условия нужно проверить перед применением формул?
Тангенсы исходных углов должны существовать, то есть cos α и cos β не должны быть равны нулю. Кроме того, знаменатель выбранной формулы должен быть ненулевым.
9.7. Формулы для тангенсов
