§ 1. Уравнение соs х=а

Определения и обозначения

Уравнение cos x = a — тригонометрическое уравнение, в котором нужно найти все значения x, при которых косинус равен заданному числу a. Здесь x — неизвестный угол, а a — постоянное число. Это уравнение удобно использовать, когда требуется описать все углы с известным значением косинуса.

Арккосинус числа a обозначают arccos a; это угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Например, arccos ½ = π/3, потому что cos(π/3) = ½. Арккосинус даёт одно основное значение, от которого затем находят остальные углы.

Общее решение — запись, которая сразу включает все корни уравнения, а не только один или несколько найденных углов. Для этого используют целое число n и учитывают повторение значений функции. Такая запись позволяет не перечислять бесконечное множество корней по одному.

Период косинуса равен 2π: для любого x выполняется cos(x + 2π) = cos x. Поэтому, если угол подходит, к нему можно прибавлять или вычитать любое целое число периодов. Именно периодичность объясняет появление слагаемого 2πn в общей формуле.

Как это устроено

Сначала выясняют, может ли заданное число вообще быть значением косинуса. На единичной окружности косинус угла — это абсцисса соответствующей точки, а абсцисса не бывает меньше −1 или больше 1. Поэтому уравнение cos x = a имеет решения только при −1 ≤ a ≤ 1; если условие нарушено, искать углы бессмысленно.

Когда число a допустимо, выбирают основное решение x = arccos a. По определению арккосинуса этот угол лежит в [0; π], где каждому допустимому значению косинуса соответствует ровно один такой угол. Это не все корни уравнения, а удобная отправная точка для их получения.

Почему появляются два семейства? На единичной окружности точки с одинаковой абсциссой расположены симметрично относительно горизонтальной оси, поэтому соответствующие углы имеют вид arccos a и −arccos a. Отсюда получается запись x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z. Знак ± объединяет оба направления от нуля; для значений a = 1 и a = −1 эти направления приводят к совпадающим корням.

К найденным углам прибавляют 2πn, потому что после полного оборота по окружности точка возвращается в исходное положение. Значит, косинус угла x и косинус угла x + 2πn одинаковы при любом целом n. Числа π для этого недостаточно: cos(x + π) = −cos x, так что значение обычно меняет знак.

При a = 1 основное значение равно 0, а два семейства дают x = 2πn и x = −2πn, то есть один и тот же набор корней. При a = −1 основное значение равно π, и значения π и −π различаются на период 2π. Поэтому в особых случаях записывают корни один раз: x = 2πn при a = 1 и x = π + 2πn при a = −1.

Решение уравнения cos x = a

Сначала сравните a с числами −1 и 1, чтобы выбрать подходящую строку и проверить существование корней. Затем запишите корни по формуле из этой строки, не забывая, что n — любое целое число. Геометрический смысл помогает представить, сколько пересечений даёт горизонтальная прямая за период.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение cos x = √3/2.

1. Число √3/2 лежит между −1 и 1, значит, решения существуют.
2. Находим основное значение: arccos(√3/2) = π/6, так как cos(π/6) = √3/2.
3. Так как значение не является крайним, используем оба семейства: x = ±π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: x = ±π/6 + 2πn, n ∈ Z. Два знака дают углы π/6 и −π/6 в каждом периоде, а целое n переносит их на остальные периоды.

Задача 2. Решить уравнение cos x = −1/2.

1. Значение −1/2 допустимо. На единичной окружности ему соответствуют углы 2π/3 и 4π/3 в промежутке от 0 до 2π.
2. Второй угол можно записать как −2π/3 + 2π. Поэтому две серии корней имеют вид x = 2π/3 + 2πn и x = −2π/3 + 2πn.
3. Поскольку −2π/3 и 4π/3 отличаются на период, эти записи описывают те же углы. Можно оставить общую формулу с arccos(−1/2) = 2π/3.

Ответ: x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z. Например, при выборе знака минус и n = 1 получаем 4π/3, второй угол из промежутка [0; 2π].

Задача 3. Решить уравнение cos(2x − π/3) = −√2/2.

1. Аргумент косинуса сложный, поэтому обозначим t = 2x − π/3. Получаем базовое уравнение cos t = −√2/2.
2. Арккосинус этого числа равен 3π/4, поэтому t = ±3π/4 + 2πn, n ∈ Z.
3. Возвращаемся к x: 2x − π/3 = 3π/4 + 2πn или 2x − π/3 = −3π/4 + 2πn. Решая первое уравнение, получаем x = 13π/24 + πn; из второго получаем x = −5π/24 + πn.

Ответ: x = 13π/24 + πn или x = −5π/24 + πn, n ∈ Z. Оба семейства необходимы: они пришли от двух возможных значений аргумента t.

Типичные ошибки

Если записать только x = arccos a, потеряются остальные корни: арккосинус задаёт лишь основное значение, а не все углы. Так ошибаются, принимая определение арккосинуса за общее решение. Проверьте, учтены ли симметрия и периодичность: в ответе обычно должны быть знак ± и слагаемое 2πn.

Период косинуса иногда ошибочно принимают за π, потому что углы x и x + π связаны. Но косинус при таком сдвиге меняет знак, поэтому прибавление π не сохраняет решение в общем случае. Для проверки подставьте x + π: равенство cos(x + π) = cos x обычно неверно, а правильный период — 2π.

Формулу с arccos нельзя применять, не проверив значение a. При a > 1 или a < −1 такого угла не существует, хотя формальная запись может выглядеть правдоподобно. Сначала убедитесь, что −1 ≤ a ≤ 1, и только после этого находите арккосинус.

При a = 1 или a = −1 знак ± приводит к совпадающим семействам корней. Если оставить оба, ответ будет избыточным и может сбить с толку при проверке. Подставьте основное значение арккосинуса и сравните серии: для a = 1 оставьте x = 2πn, для a = −1 — x = π + 2πn.

Связь с другими темами

Для решения полезно знать единичную окружность, основные значения синуса и косинуса, диапазон значений косинуса и его период. Эти знания объясняют и допустимые значения a, и симметрию корней. Формула общего решения становится основой при решении других тригонометрических уравнений и неравенств.

Если косинус от сложного выражения равен числу, можно заменить весь аргумент новой переменной, решить базовое уравнение, а затем вернуться к исходной переменной. Арккосинус также связывает уравнение с обратными тригонометрическими функциями: он задаёт основное значение угла по его косинусу. Такой подход помогает упорядочить решение, но не отменяет необходимости учитывать все семейства корней.

Что запомнить

• Косинус принимает значения только от −1 до 1.
• Если |a| > 1, уравнение cos x = a решений не имеет.
• Основное значение решения задаётся формулой x = arccos a.
• Общее решение при −1 ≤ a ≤ 1: x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.
• Период косинуса равен 2π.
• Для a = 1 решения имеют вид x = 2πn.
• Для a = −1 решения имеют вид x = π + 2πn.

Как это устроено