§ 2. Уравнение sin х=а

Определения и обозначения

Синус числа x — это ордината точки единичной окружности, соответствующей углу x. Ордината означает координату точки по вертикальной оси, поэтому sin x может принимать только значения от −1 до 1. Это свойство сразу позволяет проверить, возможно ли уравнение с данным числом справа.

Уравнение sin x = a — тригонометрическое уравнение, в котором нужно найти все значения x, синус которых равен заданному числу a. Неизвестным здесь является угол, а его синус может повторяться для разных углов. Поэтому ответ обычно состоит не из одного числа, а из нескольких бесконечных семейств корней.

Главное значение arcsin a — число из промежутка [−π/2; π/2], синус которого равен a; это определение применимо при −1 ≤ a ≤ 1. Например, arcsin(1/2) = π/6. Главное значение даёт удобный исходный угол, от которого можно найти остальные углы с тем же синусом.

Общее решение уравнения sin x = a — запись всех его корней, включая те, которые получаются добавлением полных периодов. Для любого целого k добавление 2πk не меняет синус. Такая запись не пропускает решения и не требует перечислять углы по одному.

Как это устроено

Сначала проверяют, может ли уравнение иметь решения. На единичной окружности координата точки по вертикали не бывает больше 1 или меньше −1, а синус как раз и равен этой координате. Поэтому при |a| > 1 ни один угол не подойдёт, и уравнение не имеет корней.

Если |a| ≤ 1, находят главное значение α = arcsin a. По определению его синус равен a, значит, α уже является одним из решений. Но это не обязательно единственный подходящий угол: на окружности могут быть другие точки с той же вертикальной координатой.

Второе семейство появляется из симметрии единичной окружности относительно вертикальной оси. Точки с углами α и π − α имеют одинаковую ординату, хотя находятся по разные стороны от этой оси. Поэтому оба угла имеют один и тот же синус, и нужно учитывать не только α, но и π − α.

Затем учитывают периодичность синуса: после полного оборота, то есть через 2π радиан, точка на окружности возвращается в исходное положение. Значит, к каждому из найденных углов можно прибавить 2πk, где k — любое целое число. Использование целых k охватывает повороты в обе стороны и все повторения значения синуса.

В итоге при |a| ≤ 1 записывают x = arcsin a + 2πk или x = π − arcsin a + 2πk, k ∈ ℤ. На границах a = 1 и a = −1 оба семейства совпадают, потому что соответствующая точка имеет единственное положение по вертикали на окружности. Тогда остаётся по одному семейству: x = π/2 + 2πk или x = −π/2 + 2πk соответственно.

Число a и решения уравнения sin x = a

Таблица помогает быстро выбрать подходящую запись: сначала найдите условие, которому удовлетворяет число a, а затем прочитайте все корни. В общей строке α обозначает arcsin a, а k принимает любые целые значения. Для a = 1, a = −1 и a = 0 приведены удобные упрощённые ответы.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = 2. Перед поиском углов проверим, может ли число 2 быть значением синуса. Синус любого числа находится в промежутке [−1; 1], поэтому правая часть уже даёт ответ о существовании корней.

1. Сравним правую часть с допустимыми значениями: 2 > 1.
2. Следовательно, не существует угла x, для которого sin x = 2.

Ответ: решений нет. Здесь не нужно искать arcsin 2: главное значение арксинуса для числа вне отрезка [−1; 1] не определено. Проверка допустимости числа a должна предшествовать записи формулы корней.

Задача 2. Решить уравнение sin x = 1/2. Число 1/2 лежит между −1 и 1, значит, корни существуют. Сначала находим главное значение, а затем записываем оба угла с таким синусом и добавляем период.

1. Вычислим α = arcsin(1/2) = π/6.
2. Первое семейство: x = π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. Второе семейство: x = π − π/6 + 2πk = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ. Два разных угла в пределах одного полного оборота нужны потому, что окружность пересекает горизонтальную линию y = 1/2 в двух точках. Добавление 2πk перечисляет все повторения этих точек.

Задача 3. Решить уравнение sin(2x − π/3) = −√3/2. Сначала рассматриваем выражение 2x − π/3 как единый аргумент и решаем уравнение относительно него. После этого получатся линейные уравнения, и в каждом нужно выразить именно x.

1. Пусть t = 2x − π/3. Тогда sin t = −√3/2, а arcsin(−√3/2) = −π/3.
2. Первый вариант: t = −π/3 + 2πk. Значит, 2x − π/3 = −π/3 + 2πk, откуда x = πk.
3. Второй вариант: t = π − (−π/3) + 2πk = 4π/3 + 2πk. Тогда 2x − π/3 = 4π/3 + 2πk, откуда x = 5π/6 + πk.

Ответ: x = πk или x = 5π/6 + πk, k ∈ ℤ. В первом семействе деление равенства на 2 превращает 2πk в πk. Во втором семействе получается тот же шаг, поэтому период для x в итоговой записи равен π, хотя период синуса по его аргументу равен 2π.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать решения при |a| > 1. Её допускают, когда сразу подставляют число в формулу корней и забывают диапазон значений синуса. Перед вычислениями сравните a с отрезком [−1; 1]; если число вне него, корней нет.

Ошибка: учитывать только arcsin a и пропускать угол π − arcsin a. Так происходит, если воспринимать главное значение как единственный угол с нужным синусом. Проверьте себя по окружности: при обычном значении ординаты горизонтальная линия пересекает её в двух точках, поэтому нужно записать оба семейства.

Ошибка: прибавлять πk к каждому семейству. Часто путают период синуса с расстоянием между углами, у которых одинаковый синус: второй угол уже записан отдельно, а повторение каждого угла происходит через полный оборот 2π. Подставьте выражение с πk в синус и проверьте, не меняется ли его знак при нечётном k.

Ошибка: оставить ответ для выражения внутри синуса, например для 2x − π/3. Это случается, когда после получения корней для аргумента забывают решить линейные уравнения. Проверьте итог: неизвестной в ответе должна быть x, а подстановка найденных значений должна сводить аргумент к одному из полученных углов.

Связь с другими темами

Для решения нужны единичная окружность, значения синуса и его период 2π. Также необходимо знать, что синус принимает значения только на отрезке [−1; 1]: это позволяет до вычислений отсеять уравнения без корней. Все эти свойства объясняют и форму общего решения.

Понятие arcsin и выбор его главного значения продолжают изучение обратных тригонометрических функций. Арксинус превращает известное значение синуса в угол из строго заданного промежутка. Это помогает однозначно выбрать исходный угол, даже если в целом одинаковому синусу соответствует несколько углов.

Формула для sin x = a становится основой для уравнений, где неизвестный аргумент сложнее, например sin(2x − π/3) = a. Сначала находят все допустимые значения аргумента по общему решению, а затем решают полученные уравнения относительно x. Такой порядок позволяет не терять корни при замене аргумента.

Что запомнить

• Уравнение sin x = a имеет решения только при |a| ≤ 1.
• Главное значение arcsin a лежит в промежутке [−π/2; π/2].
• Второй угол с тем же синусом равен π − arcsin a.
• Период синуса равен 2π.
• Общее решение: x = arcsin a + 2πk или x = π − arcsin a + 2πk, k ∈ ℤ.
• При a = 1 или a = −1 два семейства решений совпадают.