§ 3. Уравнение tg x=a

Определения и обозначения

Уравнение tg x = a — это уравнение, в котором нужно найти все значения x, при которых тангенс равен заданному числу a. Здесь a — действительное число, а x может принимать разные значения, потому что тангенс периодичен. Такие уравнения нужны, чтобы находить углы с заданным значением тангенса. Для ответа важно не ограничиваться одним найденным углом.

Арктангенс числа a обозначают arctg a. Это такое значение угла из промежутка (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Например, arctg 1 = π/4, потому что tg(π/4) = 1. Арктангенс помогает получить одно удобное, основное решение уравнения.

Общее решение уравнения tg x = a — семейство x = arctg a + πn, где n ∈ Z, то есть n — любое целое число. Каждое значение n даёт отдельный корень, а вместе они описывают все корни. Это нужно, поскольку одним углом нельзя перечислить все значения с тем же тангенсом. Если задан промежуток, из семейства выбирают только попавшие в него корни.

Период тангенса — число π, после прибавления которого значение функции повторяется: tg(x + π) = tg x. Поэтому решения уравнения располагаются через π. Период объясняет, почему в формуле общего решения появляется слагаемое πn. Сдвиг на πn не меняет значение тангенса при любом целом n.

Как это устроено

Уравнение tg x = a имеет решение при любом действительном a, потому что на каждом промежутке непрерывности тангенс проходит значения от −∞ до +∞. Например, между −π/2 и π/2 график непрерывно возрастает и принимает каждое действительное значение ровно один раз. Поэтому горизонтальная прямая y = a пересечёт эту ветвь графика. Условие «при любом a» относится именно к действительным числам.

Чтобы решить уравнение, достаточно сначала найти x = arctg a. Арктангенс выбирает единственный угол из промежутка (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Но за пределами этого промежутка есть другие углы с тем же тангенсом. Они отличаются от основного решения на целое число периодов, поэтому к нему прибавляют πn.

Период тангенса равен π, а не только 2π, как часто вспоминают по формулам синуса и косинуса. Действительно, tg x = sin x / cos x. При замене x на x + π синус и косинус одновременно меняют знак, поэтому их отношение не меняется. Значит, уже сдвиг на π возвращает значение тангенса, а сдвиг на 2π не даёт всех ближайших повторений.

В точках x = π/2 + πn косинус равен нулю, поэтому отношение sin x / cos x не определено. Следовательно, тангенс в этих точках не существует, и такие значения нельзя считать корнями. Формула x = arctg a + πn сама не приводит к этим точкам: arctg a лежит строго внутри (−π/2; π/2). Однако при преобразовании уравнений полезно проверять область определения исходного выражения.

На графике решения видны как пересечения графика y = tg x с горизонтальной прямой y = a. Каждая точка пересечения имеет абсциссу x, для которой tg x = a. Ветви графика повторяются через π, поэтому пересечения и соответствующие корни также повторяются с этим шагом. Для tg x = 1 прямая y = 1 пересекает ветви при x = π/4 + πn.

Свойства и решение уравнения tg x = a

Сначала найдите основное решение через арктангенс, затем запишите к нему все сдвиги на πn. Если в уравнении есть ограничение на x, примените его к общему решению и оставьте подходящие корни. Отдельно проверяйте, что выражение тангенса определено.

Разбор задач

Уравнение tg x = 1

Нужно найти все углы, тангенс которых равен единице. Начнём с основного значения, которое лежит в промежутке (−π/2; π/2). Затем учтём период тангенса, иначе получим только один корень вместо всего семейства.

1. Находим основное решение: arctg 1 = π/4, поскольку tg(π/4) = 1.
2. Добавляем все целые кратные периода π: x = π/4 + πn, n ∈ Z.
3. Проверяем: tg(π/4 + πn) = tg(π/4) = 1, так как сдвиг на πn не меняет тангенс.

Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z. Например, при n = 0 получаем π/4, а при n = 1 — 5π/4. Семейство включает также отрицательные корни, если взять отрицательные целые n.

Уравнение tg(2x − π/3) = √3

Аргумент тангенса здесь не просто x, поэтому сначала решаем уравнение относительно всего выражения 2x − π/3. Тангенс равен √3 при аргументе π/3, а остальные подходящие аргументы отличаются от него на πn. После этого полученное равенство решаем как линейное уравнение.

1. Записываем общее решение для аргумента: 2x − π/3 = arctg √3 + πn = π/3 + πn, n ∈ Z.
2. Прибавляем π/3 к обеим частям: 2x = 2π/3 + πn.
3. Делим обе части на 2: x = π/3 + πn/2, n ∈ Z.
4. Подстановка даёт аргумент π/3 + πn, тангенс которого равен √3.

Ответ: x = π/3 + πn/2, n ∈ Z. Делить нужно всё выражение справа на 2, включая слагаемое πn. При любом целом n аргумент исходного тангенса сохраняет требуемое значение.

Уравнение tg(3x − π/4) = −1 на отрезке [−π; π]

Сначала найдём все решения без ограничения, а затем отберём те, которые лежат на заданном отрезке. Основное значение arctg(−1) равно −π/4. Важно после преобразования не забыть, что целое n может давать как корни внутри отрезка, так и за его пределами.

1. Приравниваем аргумент к общему решению: 3x − π/4 = −π/4 + πn, n ∈ Z.
2. Прибавляем π/4 к обеим частям: 3x = πn, поэтому x = πn/3.
3. Используем условие −π ≤ x ≤ π: получаем −π ≤ πn/3 ≤ π.
4. Делим на положительное π и умножаем на 3: −3 ≤ n ≤ 3. Значит, n = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: x ∈ {−π, −2π/3, −π/3, 0, π/3, 2π/3, π}. Проверка отрезка выполняется после получения общего решения, потому что ограничение касается x, а не аргумента тангенса. Все перечисленные значения допустимы: аргумент исходного тангенса не равен π/2 + πk.

Типичные ошибки

Запись x = arctg a как единственного корня теряет остальные решения. Так ошибаются, когда находят основное значение, но забывают о повторении тангенса. Проверьте ответ: если к найденному x прибавить π, тангенс должен остаться тем же, поэтому общий ответ содержит πn.

Использование периода 2π вместо π приводит к неполному набору корней. Период 2π действительно сохраняет значение тангенса, но между x и x + 2π есть ещё повторение при x + π. Для проверки сравните tg(x + π) и tg x: они равны, значит, шаг в общем решении должен быть π.

Если не учитывать область определения, можно записать значения, при которых тангенс не существует. Это происходит из-за того, что тангенс воспринимают как обычную функцию, забывая о делении на косинус. Проверяйте, что x не равен π/2 + πn, то есть косинус аргумента не обращается в ноль.

В уравнении tg(kx + b) = a иногда записывают kx + b = arctg a или ошибочно делят только часть равенства на k. Первый вариант теряет периодические решения, а второй нарушает равенство. Сначала запишите kx + b = arctg a + πn, затем перенесите b и разделите обе части целиком на k, если k ≠ 0.

Связь с другими темами

Для решения нужны определения синуса, косинуса и тангенса, а также единичная окружность и радианная мера угла. Представление тангенса как отношения синуса к косинусу объясняет его период и точки, где он не определён. Периодичность функций помогает понимать, почему корни образуют повторяющееся семейство.

Формула общего решения пригодится при решении тригонометрических уравнений, систем и неравенств. Она также помогает исследовать графики периодических функций и находить пересечения графиков. В более сложных уравнениях аргумент тангенса часто имеет вид kx + b, поэтому освоенное правило сначала применяют к аргументу, а затем выражают x.

Что запомнить

• Уравнение tg x = a имеет решения при любом действительном a.
• Одно основное решение: x = arctg a.
• Общее решение: x = arctg a + πn, n ∈ Z.
• Период тангенса равен π.
• Тангенс не определён при x = π/2 + πn.
• При ограничении на x из общего решения нужно отобрать только подходящие значения.