§ 4. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные и линейные уравнения

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение, сводящееся к алгебраическому, — уравнение, которое после замены переменной или преобразования становится алгебраическим. Например, выражение tg x можно временно обозначить буквой t и решить полученное квадратное уравнение. Это полезно, когда тригонометрические функции входят в уравнение так, что после замены остаются обычные степени переменной.

Однородное тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором каждый член содержит синус и косинус в одинаковой суммарной степени. Например, в sin²x − 4 sin x cos x + 3 cos²x каждый член имеет суммарную степень 2. Такая одинаковая структура позволяет разделить уравнение на подходящую степень cos x и перейти к тангенсу.

Степень однородного уравнения — общая суммарная степень множителей sin x и cos x в каждом его члене. В выражении sin³x + 2 sin²x cos x степень равна 3: в первом члене три множителя синуса, во втором — два синуса и один косинус. Зная степень, можно понять, на какую степень cos x делить уравнение.

Линейное тригонометрическое уравнение — уравнение вида a sin x + b cos x = c, где a, b и c — заданные числа. «Линейное» здесь означает, что синус и косинус стоят в первой степени и не перемножаются друг с другом. Его удобно преобразовать так, чтобы вместо двух функций остался один синус.

Как это устроено

В однородном уравнении одинаковая степень синуса и косинуса в каждом слагаемом позволяет представить каждое отношение sin x / cos x. После деления на cosⁿ x эти отношения превращаются в tg x, и уравнение становится алгебраическим относительно тангенса. Именно поэтому степень однородности определяет степень косинуса, на которую нужно разделить.

Деление на cosⁿ x разрешено только при cos x ≠ 0. Если сначала выполнить такое деление, значения с cos x = 0 окажутся исключёнными из преобразованного уравнения, хотя среди них могут быть решения исходного. Поэтому сначала подставляют x = π/2 + πk, где cos x равен нулю, в исходное уравнение и проверяют, выполняется ли оно.

Решив алгебраическое уравнение, получают отдельные значения t = tg x. Каждому такому значению соответствует целая серия x = arctg t + πk, k ∈ Z, поскольку тангенс повторяет значения через π. Запись только одного угла потеряла бы остальные решения, а другой период здесь использовать нельзя.

Сумму a sin x + b cos x можно представить как R sin(x + φ), потому что по формуле синуса суммы R sin(x + φ) = R sin x cos φ + R cos x sin φ. Чтобы коэффициенты совпали, выбирают R cos φ = a и R sin φ = b; из этих равенств следует R = √(a² + b²). После замены остаётся уравнение с одним синусом, для которого можно записать общие решения.

Перед решением линейного уравнения проверяют, может ли синус принять нужное значение. После преобразования получаем sin(x + φ) = c/R, а значения синуса лежат от −1 до 1. Значит, при |c| > R решений нет; если |c| ≤ R, можно решать уравнение, учитывая обе серии решений синуса.

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим и способы решения

Сопоставьте вид уравнения с приёмом и обязательной проверкой. Таблица помогает выбрать последовательность действий, но не заменяет проверку найденных значений в исходном уравнении.

Разбор задач

Задача 1. Решить sin²x + 3 sin x cos x + 2 cos²x = 0.

1. Сначала проверим cos x = 0. Тогда sin²x = 1, а остальные слагаемые равны нулю, поэтому исходное уравнение не выполняется. Значит, можно рассматривать случай cos x ≠ 0.

2. Делим всё уравнение на cos²x: tg²x + 3 tg x + 2 = 0. Обозначим tg x = t и разложим квадратный трёхчлен: (t + 1)(t + 2) = 0. Получаем t = −1 или t = −2.

3. Возвращаемся к x и записываем все решения каждого уравнения с тангенсом. Для tg x = −1 получаем x = −π/4 + πk, а для tg x = −2 — x = arctg(−2) + πk, где k ∈ Z. Отдельная проверка cos x = 0 подтвердила, что других решений нет.

Ответ: x = −π/4 + πk или x = arctg(−2) + πk, k ∈ Z.

Задача 2. Решить 2 sin x + √3 cos x = 1.

1. Находим R = √(2² + (√3)²) = √7. Для представления левой части выбираем угол φ так, чтобы cos φ = 2/√7 и sin φ = √3/√7. Оба значения положительны, значит, φ находится в первой четверти.

2. По формуле синуса суммы имеем 2 sin x + √3 cos x = √7 sin(x + φ). Поэтому уравнение равносильно sin(x + φ) = 1/√7. Поскольку 1/√7 лежит между −1 и 1, решения существуют.

3. Обозначим α = arcsin(1/√7). Для уравнения с синусом получаем x + φ = α + 2πk или x + φ = π − α + 2πk. Вычитаем φ, чтобы выразить x; обе серии нужно оставить, так как они задают все решения.

Ответ: x = α − φ + 2πk или x = π − α − φ + 2πk, где α = arcsin(1/√7), cos φ = 2/√7, sin φ = √3/√7, k ∈ Z.

Задача 3. Решить sin²x − 4 sin x cos x + 3 cos²x = 0.

1. Проверяем cos x = 0: тогда sin²x = 1, а два слагаемых с cos x равны нулю. Равенство не выполняется, поэтому случай cos x = 0 решений не даёт и деление на cos²x допустимо для оставшихся значений.

2. После деления получаем tg²x − 4 tg x + 3 = 0. Обозначим tg x = t и разложим выражение: (t − 1)(t − 3) = 0, откуда t = 1 или t = 3. Так исходное уравнение сведено к двум простым уравнениям с тангенсом.

3. Для tg x = 1 получаем x = π/4 + πk. Для tg x = 3 получаем x = arctg 3 + πk, где k ∈ Z. Период π охватывает все углы, при которых тангенс принимает каждое из найденных значений.

Ответ: x = π/4 + πk или x = arctg 3 + πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

• Делят однородное уравнение на cosⁿ x, не проверив cos x = 0. Так можно исключить корни, для которых деление не определено; ошибка возникает, когда сразу применяют привычный приём. Подставь x = π/2 + πk в исходное уравнение до деления и проверь результат.

• После замены tg x = t записывают один угол вместо общей серии решений. Это происходит, если забыть, что тангенс периодичен; найденный угол не единственный. Для каждого корня t используй x = arctg t + πk, k ∈ Z.

• В преобразовании a sin x + b cos x неверно выбирают фазу φ или знак слагаемых. Причина — перепутать коэффициенты при раскрытии sin(x + φ). Проверь равенства R cos φ = a и R sin φ = b, затем раскрой формулу и сравни оба коэффициента.

• Не проверяют условие |c| ≤ √(a² + b²) и начинают решать уравнение без действительных корней. Такое возможно, если забыть, что модуль синуса не превосходит 1. Сначала найди R и сравни |c| с R: при |c| > R решений нет.

Связь с другими темами

Для решения этих уравнений нужны простейшие тригонометрические уравнения и умение записывать их общие решения. Также пригодятся основное тождество sin²x + cos²x = 1 и формула синуса суммы, позволяющая объединить синус и косинус. Освоенные приёмы применяются в более сложных тригонометрических уравнениях и при тригонометрических подстановках.

Что запомнить

• Однородное уравнение имеет одинаковую суммарную степень sin x и cos x во всех членах.
• Перед делением на cosⁿ x отдельно проверяют случай cos x = 0.
• После деления однородное уравнение становится алгебраическим уравнением относительно tg x.
• Период тангенса равен π.
• Комбинацию a sin x + b cos x можно представить как R sin(x + φ), где R = √(a² + b²).
• Если |c| > R, уравнение a sin x + b cos x = c не имеет решений.