§ 5. Методы задания неизвестного и разложения на множители. Метод оценки левой и правой частей тригонометрического уравнения

Определения и обозначения

Введение новой переменной — это замена повторяющегося тригонометрического выражения новой буквой, например t = sin x. Уравнение становится алгебраическим, поэтому его часто проще решить. После этого обязательно учитывают допустимые значения: для синуса и косинуса −1 ≤ t ≤ 1.

Разложение на множители — представление выражения в виде произведения нескольких множителей. Такой вид удобен благодаря правилу: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому одно уравнение можно заменить несколькими более простыми.

Метод оценки — решение уравнения с помощью сравнения возможных значений его левой и правой частей. Для каждой части находят наибольшую или наименьшую границу. Если одна часть не может достичь значения другой, уравнение решений не имеет.

Условие равенства в оценке — значение переменной, при котором выражение достигает найденной границы. Совпадения границ недостаточно: нужно выяснить, при одном ли и том же x выполняются все необходимые условия. Только тогда найденная граница даёт решение.

Как это устроено

Если в уравнении многократно встречается sin x или cos x, замена t = sin x либо t = cos x сокращает запись и убирает тригонометрическую форму из алгебраических преобразований. Например, sin²x − 3sin x + 2 превращается в t² − 3t + 2. Но не каждое значение t можно вернуть к углу x, поэтому условие −1 ≤ t ≤ 1 сохраняют до конца решения.

Квадратное уравнение относительно sin x или cos x удобно раскладывать на множители, потому что после этого появляются простейшие уравнения. Например, равенство (2cos x − 1)(cos x − 1) = 0 означает, что хотя бы один множитель должен обратиться в нуль. Каждый случай решают отдельно, а затем объединяют полученные серии корней.

Правило нулевого произведения работает только тогда, когда произведение действительно равно нулю. Из равенства A · B = 0 следуют случаи A = 0 или B = 0, поэтому нельзя выбирать только один множитель. Если множителей больше двух, рассматривают каждый из них и проверяют, не появились ли лишние значения.

Метод оценки начинается с поиска границ обеих частей уравнения. Например, синус и косинус лежат в пределах от −1 до 1, а значит, их сумму или произведение можно ограничить дополнительными преобразованиями. Если левая часть всегда не больше 1, а правая всегда не меньше 2, равенство невозможно.

Когда верхняя граница одной части совпадает с нижней границей другой, решение ещё не получено. Равенство возможно только в точках, где обе части одновременно достигают нужных границ. Поэтому после оценки выписывают условия равенства и находят общие значения x.

Приёмы решения тригонометрических уравнений

Таблица помогает сначала распознать структуру уравнения, а затем выбрать последовательность действий. После алгебраических преобразований всегда нужно вернуться к исходным sin x или cos x. Последняя проверка показывает, не были ли добавлены недопустимые корни.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin²x − 3sin x + 2 = 0.

Здесь повторяется sin x, а выражение имеет вид квадратного уравнения относительно него. Поэтому сначала временно заменим синус буквой, а затем отбросим недопустимые значения. После этого останется решить обычное простейшее тригонометрическое уравнение.

1. Положим t = sin x. Получим t² − 3t + 2 = 0, или (t − 1)(t − 2) = 0.
2. Корни равны t = 1 и t = 2, но условие −1 ≤ t ≤ 1 оставляет только t = 1.
3. Решаем sin x = 1: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Задача 2. Решить уравнение 2cos²x − 3cos x + 1 = 0.

В этом уравнении косинус повторяется, а квадратный трёхчлен легко разложить на множители. Нулевое произведение даст два отдельных случая. Каждый из них нужно решить, не забывая записать все серии корней.

1. Разложим выражение: 2cos²x − 3cos x + 1 = (2cos x − 1)(cos x − 1).
2. Приравниваем множители к нулю: cos x = ½ или cos x = 1.
3. Получаем x = ±π/3 + 2πk либо x = 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: x = ±π/3 + 2πk или x = 2πk, k ∈ Z.

Задача 3. Решить уравнение sin x + cos x = √2.

Простая оценка каждого слагаемого сверху единицей даёт лишь sin x + cos x ≤ 2 и не позволяет сразу сделать вывод. Оценим сумму целиком, представив её как один синус. Тогда правая граница будет достигаться только при максимальном значении синуса.

1. Используем тождество √2 sin(x + π/4) = sin x + cos x.
2. Получаем √2 sin(x + π/4) = √2, поэтому sin(x + π/4) = 1.
3. Следовательно, x + π/4 = π/2 + 2πk, откуда x = π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

После замены t = sin x или t = cos x иногда сохраняют все корни квадратного уравнения. Ошибка возникает из-за забытого ограничения −1 ≤ t ≤ 1. Проверяйте каждый корень новой переменной до возвращения к тригонометрическому уравнению.

При произведении, равном нулю, некоторые приравнивают к нулю только первый множитель. Так теряются целые серии решений из остальных случаев. Записывайте все множители и составляйте совокупность уравнений.

Бывает, что алгебраическое уравнение решено верно, но замена не восстановлена. Число t само по себе не является ответом для исходного уравнения с x. После нахождения t обязательно решите sin x = t или cos x = t.

При методе оценки совпадение границ принимают за доказанное решение. Однако максимумы частей могут достигаться при разных x или одна из границ может быть недостижима. Выпишите условия равенства и найдите их общие решения.

Связь с другими темами

Для замены переменной нужны основные тождества, значения sin x и cos x, а также знание множества их значений. Без ограничения −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1 невозможно правильно отсеять лишние корни. Эти свойства связывают алгебраические преобразования с тригонометрией.

Разложение на множители опирается на решение квадратных уравнений и формулы умножения многочленов. Навык выделять общий вид трёхчлена помогает быстро находить множители. Затем используются стандартные формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

Рассмотренные приёмы применяются не только для нахождения корней, но и для доказательства их отсутствия. Оценка частей особенно полезна, когда прямое преобразование уравнения затруднено. Она также развивает умение анализировать границы функций.

Что запомнить

• При замене тригонометрического выражения новой переменной учитывай её допустимые значения.
• Произведение равно нулю, когда хотя бы один его множитель равен нулю.
• После решения уравнения относительно новой переменной вернись к исходной замене.
• Оценка частей уравнения может показать, что решений нет.
• При совпадении граничных значений обязательно проверь условия достижения равенства.
• Все найденные значения x должны удовлетворять исходному уравнению.