§ 6. Системы тригонометрических уравнений

Определения и обозначения

Система тригонометрических уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе для x и y одно уравнение может задавать значение sin x, а другое связывать x и y. Это определение помогает сразу увидеть, что уравнения нельзя рассматривать как независимые задачи.

Решение системы — набор значений неизвестных, при подстановке которого все уравнения системы обращаются в верные равенства. Для двух неизвестных таким набором обычно служит пара (x; y). Определение нужно, чтобы не принять корень одного уравнения за решение всей системы.

Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. При преобразованиях к такой системе переходят без изменения ответа, поэтому её удобно решать вместо исходной. Если преобразование может добавить или убрать решения, равносильность нужно отдельно обосновать или проверить результат.

Метод подстановки — способ решения, при котором выражение для одной неизвестной подставляют в другое уравнение. Например, если одно уравнение задаёт y через x, это выражение можно использовать во втором уравнении. Метод помогает свести систему к уравнению с одной неизвестной, а затем найти оставшуюся.

Как это устроено

Решить систему — значит найти общие решения всех её уравнений. У каждого уравнения может быть собственное множество решений, но подойдут системе только значения, которые согласуются со всеми условиями сразу. Поэтому после решения одного уравнения нельзя сразу записывать его корни в ответ: нужно учесть остальные уравнения. Геометрически это можно представить как поиск общих точек, удовлетворяющих каждому условию.

Если одно уравнение позволяет выразить неизвестную, метод подстановки сводит задачу к меньшему числу неизвестных. Подставляют выражение в другое уравнение, решают получившееся уравнение, а затем возвращаются к исходному выражению. Так восстанавливают значение второй неизвестной и получают пары, а не отдельные числа. Этот способ удобен, когда выражение получается простым и не приводит к слишком сложному уравнению.

Во время преобразований нужно следить, сохраняется ли множество решений. Например, деление на выражение может исключить случай, когда оно равно нулю, а возведение обеих частей в квадрат может сделать верным равенство, которое до этого было неверным из-за знаков. Значит, такие действия не всегда обратимы. Чтобы не потерять или не добавить решения, нулевой случай рассматривают отдельно, а после возведения в квадрат выполняют проверку.

Найденные значения сначала являются кандидатами, если в решении были неравносильные преобразования. Каждую пару подставляют именно в исходную систему, потому что промежуточные уравнения могли допускать лишние значения. Подстановка проверяет все исходные равенства одновременно. Особенно полезно так проверять ответы после возведения в квадрат, деления или применения формул, для которых возникли дополнительные ограничения.

Тригонометрические уравнения часто имеют бесконечно много корней из-за периодичности синуса и косинуса. Поэтому решение записывают не отдельными числами, а формулами с целым параметром, например k ∈ Z. Если общих пар нет, система называется несовместной. Если пары существуют, ответ задаёт именно все найденные семейства, а не только их отдельные примеры.

Основные приёмы решения систем тригонометрических уравнений

Сначала ищите в системе структуру: повторяющиеся выражения, удобное для выражения уравнение или комбинацию слагаемых. Таблица подсказывает, какое действие может упростить именно эту структуру, но один приём не подходит ко всем системам. После решения проверьте ограничения и подставьте полученные пары в исходные уравнения.

Разбор задач

1. Система sin x = ½, y = cos x

Решение. Первое уравнение задаёт все возможные значения x, а второе для каждого такого значения определяет y. Поскольку синус периодичен, нужно записать оба семейства корней уравнения sin x = ½. Затем вычислить косинус для каждой серии.

1. Из sin x = ½ получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
2. Если x = π/6 + 2πk, то y = cos x = √3/2. Если x = 5π/6 + 2πk, то y = cos x = −√3/2.
3. Обе серии удовлетворяют второму уравнению, поскольку y в каждой паре определён как cos x.

Ответ: (π/6 + 2πk; √3/2) или (5π/6 + 2πk; −√3/2), k ∈ Z.

2. Система sin x + sin y = 0, sin x − sin y = 1

Решение. В уравнениях повторяются sin x и sin y, поэтому сложение и вычитание позволяют найти их по отдельности. Это превращает систему в два простых тригонометрических уравнения. После этого для x и y записывают все корни с учётом периода.

1. Сложим уравнения: 2 sin x = 1, значит sin x = ½.
2. Вычтем второе уравнение из первого: 2 sin y = −1, значит sin y = −½.
3. Отсюда x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk; y = −π/6 + 2πm или y = 7π/6 + 2πm, где k, m ∈ Z.
4. Любой выбор значения x из первого набора и y из второго даёт sin x = ½ и sin y = −½, поэтому исходные суммы равны 0 и 1.

Ответ: все пары, где x = π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk, а y = −π/6 + 2πm или 7π/6 + 2πm; k, m ∈ Z.

3. Система sin x + sin y = 1, cos x + cos y = 1

Решение. В суммах синусов и косинусов удобно использовать формулы приведения к произведению. Обозначим u = (x + y)/2, v = (x − y)/2: тогда sin x + sin y = 2 sin u cos v, а cos x + cos y = 2 cos u cos v. Получаем 2 sin u cos v = 1 и 2 cos u cos v = 1.

1. Приравняем левые части: sin u = cos u. Следовательно, u = π/4 + πn, где n ∈ Z.
2. Подставим это в 2 cos u cos v = 1. Так как cos(π/4 + πn) = (−1)ⁿ/√2, получаем cos v = (−1)ⁿ/√2.
3. Если n чётное, v = 2πk ± π/4; если n нечётное, v = 2πk ± 3π/4, где k ∈ Z.
4. Восстановим неизвестные: x = u + v, y = u − v. Подстановка в преобразованные равенства подтверждает обе исходные суммы.

Ответ: x = π/4 + πn + v, y = π/4 + πn − v, где n ∈ Z; при чётном n v = 2πk ± π/4, при нечётном n v = 2πk ± 3π/4, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Записывать корни уравнений по отдельности как решение системы. Так делают, когда забывают, что одновременно должны выполняться все условия. Проверка проста: подставьте каждую пару в каждое исходное уравнение и оставьте только подходящие пары.

Терять целые параметры. При записи лишь нескольких корней легко забыть, что синус и косинус периодичны, поэтому решений обычно бесконечно много. Проверьте, содержит ли ответ все семейства с k ∈ Z, и не ограничивают ли уравнения значения параметров.

Делить на выражение, которое может быть равно нулю. Деление на него незаметно исключает возможные решения, поэтому такой шаг кажется удобным упрощением. Перед делением приравняйте выражение к нулю и рассмотрите этот случай отдельно, а затем проверьте оставшийся случай.

Считать возведение в квадрат равносильным преобразованием. При квадрате исчезает информация о знаке, и к корням могут добавиться лишние кандидаты. Сопоставьте результат с исходным равенством и обязательно подставьте найденные пары в исходную систему.

Связь с другими темами

Для решения систем нужно уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и записывать их корни с учётом периода. Также понадобятся формулы тригонометрии и приёмы решения алгебраических систем: например, подстановка и сложение уравнений. Эти умения соединяются в одной задаче, когда сначала преобразуют систему, а затем решают отдельные тригонометрические уравнения. Позже тот же подход поможет решать более сложные тригонометрические уравнения и задачи, которые удаётся свести к системе.

Что запомнить

• Решение системы должно удовлетворять каждому её уравнению.
• Ищите общий набор значений неизвестных, а не просто объединяйте корни отдельных уравнений.
• При подстановке не забывайте восстановить значение выраженной неизвестной.
• Учитывайте периодичность тригонометрических функций.
• Деление на выражение с неизвестной требует проверки случая, когда оно равно нулю.
• После неравносильных преобразований проверяйте найденные пары в исходной системе.