"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Тригонометрическое неравенство — это неравенство, где переменная входит в аргумент синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Его решение — все значения переменной, при которых неравенство верно; обычно ответ состоит из целых промежутков. Синус и косинус удобно исследовать на единичной окружности, а тангенс и котангенс — по их графикам и промежуткам монотонности. Периодичность функций помогает записать сразу все решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тригонометрическое неравенство — неравенство, в котором неизвестная входит в аргумент тригонометрической функции, например sin x > ½. Его решение — все значения неизвестной, при которых неравенство становится верным. Нужно не просто найти отдельное число, а описать всё множество подходящих значений.
Решение тригонометрического неравенства — множество чисел, удовлетворяющих этому неравенству. Его записывают одним или несколькими промежутками, например x ∈ (α; β), либо объединением промежутков. Такая запись сразу показывает, какие числа входят в ответ, а какие исключены.
Общий вид решения — запись всех решений с целочисленным параметром k, например x ∈ (α + 2πk; β + 2πk), k ∈ Z. Параметр k принимает любые целые значения и отражает повторение решений из-за периодичности функции. Без него обычно была бы указана только часть ответов.
Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Для точки, соответствующей углу x, косинус является её горизонтальной координатой, а синус — вертикальной. Окружность помогает увидеть, каким углам соответствуют значения функции, и выделить нужные дуги.
Для неравенств sin x > a и cos x > a сначала определяют, где на единичной окружности координата точки больше числа a. Например, для синуса сравнивают вертикальную координату, поэтому подходят точки на дуге выше горизонтальной прямой y = a. Границы дуги находятся из уравнения sin x = a, а сами границы проверяют по знаку неравенства. После этого дугу переводят в значения угла на числовой оси.
График синуса или косинуса даёт тот же ответ: нужно найти участки, расположенные выше или ниже прямой y = a. Точки пересечения графика с этой прямой делят ось на промежутки, а на каждом промежутке знак разности функции и a не меняется. Синус и косинус повторяют значения через 2π, поэтому достаточно рассмотреть один период, а затем перенести найденные промежутки на 2πk. Так получают все решения на числовой прямой.
Тангенс на каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk) возрастает от −∞ до +∞. Поэтому неравенство tg x > a решают сравнением x с углом arctg a внутри такого промежутка, а для меньшего значения берут участок слева. У котангенса на промежутках (πk; π + πk) функция убывает, и направление выбора участка меняется. При переносе решения учитывают период π и исключают точки, где функция не определена.
Если знак строгий, например > или <, значения на границе дают равенство, а не строгое неравенство, поэтому концы промежутка не входят. При знаках ≥ и ≤ границы подходят по значению функции, но только если они принадлежат области определения. Например, точку разрыва тангенса нельзя включить даже при нестрогом знаке. Проверка граничных значений помогает избежать ошибки с круглыми и квадратными скобками.
Сложное неравенство часто сводят к простому, рассматривая выражение в скобках как новый аргумент. Если задано sin(3x + 1) > ½, сначала находят допустимые значения для угла t = 3x + 1, а затем решают полученное неравенство относительно x. Иногда выражение преобразуют с помощью тождеств или учитывают период функции, чтобы привести аргумент к удобному виду. После преобразований важно сохранить ограничения области определения и правильно разделить неравенства на положительное или отрицательное число.
| Вид неравенства | Основная идея решения | Период повторения | Запись ответа |
|---|---|---|---|
| sin x > a или sin x < a | Выделить подходящие дуги единичной окружности или промежутки по графику синуса | 2π | Промежутки с добавлением 2πk |
| cos x > a или cos x < a | Выделить подходящие дуги единичной окружности или промежутки по графику косинуса | 2π | Промежутки с добавлением 2πk |
| tg x > a или tg x < a | Использовать монотонность тангенса на каждом промежутке области определения | π | Промежутки с добавлением πk |
| ctg x > a или ctg x < a | Использовать монотонность котангенса на каждом промежутке области определения | π | Промежутки с добавлением πk |
Сначала определи тип функции и найди решения в пределах одного периода. Затем добавь к ним все повторения с подходящим периодом, проверяя границы и область определения. Для тангенса и котангенса период равен π, а для синуса и косинуса — 2π.
Задача 1. Решить неравенство sin x > ½.
Задача 2. Решить неравенство cos x ≤ −√2/2.
Задача 3. Решить неравенство tg(2x − π/4) > 1.
Иногда записывают только один промежуток, найденный на окружности или графике, и забывают остальные решения. Это происходит, когда найденный участок принимают за весь ответ, хотя функция периодична. Проверь, повторяется ли функция через 2π или π, и добавь к промежуткам соответствующие целые кратные периода.
Для тангенса и котангенса могут по привычке указывать период 2π, смешивая их с синусом и косинусом. Тогда часть решений теряется, потому что эти функции повторяются уже через π. Самопроверка: подставь x + π вместо x и сравни значение функции с исходным.
Ещё одна ошибка — включить в ответ точку, где тангенс или котангенс не определён. Это случается, если ориентироваться только на знак ≥ или ≤ и не проверить знаменатель либо область определения. Перед записью ответа выпиши запрещённые значения и убедись, что ни одно из них не попало в промежуток.
Неверно выбирают и скобки у границ: строгий знак требует исключить точки равенства, а нестрогий позволяет включить их лишь при определённой функции. Ошибку допускают, если отмечают дугу, но не проверяют значения на её концах. Подставь каждый граничный угол в исходное неравенство и реши, подходит ли равенство.
Для решения нужны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса на основных углах, а также знание их периодов и областей определения. Полезно уметь изображать единичную окружность, отмечать углы и переводить дуги в промежутки числовой оси. Эти умения связывают геометрическое представление функции с алгебраической записью ответа.
Тригонометрические неравенства помогают исследовать поведение тригонометрических функций и находить, где их значения удовлетворяют заданным условиям. Эти же приёмы применяют при решении уравнений и неравенств с параметрами. Умение записывать все периодические решения особенно важно, когда условия задачи ограничивают допустимые значения переменной.
Почему у тангенса период π, а не 2π?
Поскольку tg x = sin x / cos x, при прибавлении π и синус, и косинус меняют знак, а их отношение остаётся прежним. Поэтому tg(x + π) = tg x, и период тангенса равен π.
Как понять, какие дуги единичной окружности соответствуют решению?
Синус точки на окружности — её вертикальная координата, а косинус — горизонтальная. Отметь на окружности точки, для которых координата больше или меньше заданного числа, и выдели соответствующие дуги.
Почему ответ записывают через целое число k?
Периодическая функция повторяет значения через одинаковые промежутки. Параметр k ∈ Z позволяет записать все повторения найденного промежутка, а не только те, что лежат в одном периоде.
Когда граничные точки нужно включать в ответ?
При строгих знаках > и < точки равенства не включают. При знаках ≥ и ≤ их включают, если они принадлежат области определения функции.
Как учитывать точки, в которых тангенс или котангенс не определён?
Сначала укажи область определения: для tg x исключены x = π/2 + πk, для ctg x — x = πk. Эти точки нельзя включать в ответ даже при нестрогом знаке неравенства.
§ 7. Тригонометрические неравенства
