"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)", Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Простейшие тригонометрические неравенства содержат синус, косинус, тангенс или котангенс аргумента. Их решение сводится к поиску тех углов, при которых значение функции больше, меньше или равно заданному числу. Границы промежутков находят из соответствующего равенства, а затем учитывают период функции и область её определения. Единичная окружность помогает увидеть нужные дуги, а график — проверить выбор решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простейшее тригонометрическое неравенство — неравенство вида sin x > a, cos x ≤ a, tg x ≥ a или ctg x < a. Здесь x — переменная, а a — заданное число; знак может быть любым. Такие неравенства нужны, чтобы определить, при каких углах тригонометрическая функция принимает значения нужного размера. Решением обычно оказывается не один угол, а целые промежутки углов.
Арксинус — значение угла из основного промежутка, синус которого равен заданному числу. Например, arcsin ½ = π/6, поскольку sin(π/6) = ½. Основной промежуток помогает выбрать одно определённое значение, хотя уравнение sin x = ½ имеет и другие решения. Арксинус используют, чтобы находить граничные углы.
Арккосинус — значение угла из основного промежутка, косинус которого равен заданному числу. Например, arccos ½ = π/3. Он позволяет получить угол по значению косинуса и использовать его как границу при разборе неравенства. Значения арккосинуса определены для чисел от −1 до 1.
Арктангенс и арккотангенс — значения углов из выбранных промежутков, тангенс или котангенс которых равен заданному числу. Например, arctg √3 = π/3, а arctg a выбирают в промежутке (−π/2; π/2). Эти функции помогают найти границы для неравенств с tg и ctg, значения которых не ограничены диапазоном от −1 до 1. Для котангенса также фиксируют основной промежуток, чтобы ответ был однозначным.
Синус и косинус удобно исследовать по единичной окружности — окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Точка, соответствующая углу x, имеет координаты (cos x; sin x), поэтому значение синуса видно по высоте точки, а косинуса — по её горизонтальному положению. Это объясняет, почему знак неравенства можно проверять, сравнивая координату с числом a. На окружности сразу видно, какие положения точки подходят условию.
Чтобы найти границы нужной дуги, сначала решают граничное равенство sin x = a или cos x = a. Его решения отмечают на окружности: в этих точках функция как раз равна a, а между ними её значение может быть больше или меньше a. Затем выбирают дугу, где выполняется знак исходного неравенства. Полезно проверить одну точку внутри каждой дуги — так легче не перепутать подходящую часть окружности.
После выбора промежутка нужно учесть периодичность. У синуса и косинуса значения повторяются через 2π, а у тангенса и котангенса — через π, поэтому к найденному промежутку добавляют соответствующий период, умноженный на целое k. Это нужно потому, что поворот на полный период возвращает функции прежние значения. Если аргумент — выражение с x, период по самой x может измениться после решения полученного промежутка.
Вид скобок определяется знаком неравенства и тем, определена ли функция на границе. При sin x ≥ a или cos x ≤ a граничные углы входят в ответ, если равенство достигается; поэтому ставят квадратные скобки. При строгих знаках > и < точки равенства не подходят, и границы открытые. Для tg и ctg точки разрыва нельзя включать ни при каком знаке.
Тангенс и котангенс исследуют на промежутках между точками, где они не определены. На каждом таком промежутке функция монотонна: тангенс возрастает, а котангенс убывает. Поэтому можно сравнить аргумент с граничным углом, найденным из tg x = a или ctg x = a, и выбрать нужную сторону. Завершая решение, проверьте один период и убедитесь, что в ответ не попали точки разрыва.
| Вид неравенства | Основной способ | Период | Что проверить в ответе |
|---|---|---|---|
| sin x ≷ a | Единичная окружность или график синуса | 2π | Диапазон −1 ≤ a ≤ 1 и включение граничных точек |
| cos x ≷ a | Единичная окружность или график косинуса | 2π | Диапазон −1 ≤ a ≤ 1 и симметрию относительно оси Oy |
| tg x ≷ a | График тангенса или монотонность на каждом промежутке | π | Точки x = π/2 + πk не входят в область определения |
| ctg x ≷ a | График котангенса или монотонность на каждом промежутке | π | Точки x = πk не входят в область определения |
Сначала найди граничные углы, затем выбери подходящий способ и добавь все повторения с периодом из таблицы. Последний столбец помогает проверить, что ответ не содержит лишних точек и учитывает особенности функции. Если аргумент сложный, после решения неравенства для него обязательно вернись к исходной переменной.
Найдём границы из равенства sin x = ½. На окружности это углы π/6 и 5π/6 в пределах одного периода от 0 до 2π. Они разделяют окружность на дуги, и между этими углами синус больше ½.
Выберем промежуток (π/6; 5π/6). Концы не включаем, поскольку неравенство строгое: в них синус равен ½, а не превосходит его. Повторяем этот промежуток через период 2π.
Ответ: x ∈ (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), k ∈ Z.
Обозначим t = 2x − π/3. Для косинуса границы уравнения cos t = −½ равны 2π/3 и 4π/3 на одном периоде. Косинус не больше −½ на дуге между ними, включая концы, так как знак нестрогий.
Запишем решение для t: t ∈ [2π/3 + 2πk; 4π/3 + 2πk]. Подставим выражение для t: 2x − π/3 лежит в этом промежутке. Прибавим π/3 ко всем частям, затем разделим границы на 2.
Получаем x ∈ [π/2 + πk; 5π/6 + πk], k ∈ Z. Концы включены: в них исходный косинус равен −½.
Пусть u = x/2 + π/6. Тангенс возрастает на каждом промежутке определения, а tg(π/3) = √3. Поэтому tg u > √3 выполняется справа от π/3 и до ближайшей точки разрыва π/2: u ∈ (π/3 + πk; π/2 + πk).
Подставим u и решим двойное неравенство: π/3 + πk < x/2 + π/6 < π/2 + πk. Вычтем π/6, затем умножим все части на 2. Поскольку делим или умножаем на положительное число, направление знаков не меняется.
Ответ: x ∈ (π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk), k ∈ Z. Точки разрыва тангенса в ответ не попали, а период по x получился 2π из-за коэффициента ½ при x.
Первая ошибка — приписывать тангенсу или котангенсу период 2π. Это делают по аналогии с синусом и косинусом, но значения tg и ctg повторяются уже через π. Проверка простая: подставьте x + π и сравните значение функции с исходным.
Вторая ошибка — неверно выбирать скобки у границ. При строгом знаке точки равенства не подходят, а при нестрогом подходят, если функция там определена; путаница возникает, когда не проверяют исходное неравенство в граничной точке. Подставьте её и определите, верно ли равенство или сама функция не существует.
Ещё одна ошибка — включать в ответ точки разрыва тангенса или котангенса. Иногда их принимают за обычные границы промежутка, хотя в этих точках выражение не определено. Сверьте каждый конец промежутка с условиями x ≠ π/2 + πk для тангенса и x ≠ πk для котангенса.
При замене аргумента можно неправильно перенести границы на x, особенно если при решении приходится делить на отрицательное число. Тогда направление знаков неравенства нужно развернуть, а скобки сохранить согласно исходному условию. Чтобы проверить себя, решите преобразованное двойное неравенство по действиям и подставьте полученный конец в исходный аргумент.
Для решения этих неравенств понадобятся значения тригонометрических функций на единичной окружности, их графики, периоды и свойства монотонности. Эти знания позволяют находить границы и выбирать подходящие интервалы без перебора значений. Освоенный способ пригодится при решении систем тригонометрических неравенств, уравнений и задач с параметрами. Он также используется при исследовании функций и построении графиков, заданных условиями с тригонометрическими выражениями.
Почему у тангенса период π, а не 2π?
Потому что tg(x + π) = tg x: при повороте на π тангенс принимает то же значение. Поэтому достаточно повторять найденные промежутки через π, а не через 2π.
Как понять по единичной окружности, какую дугу выбрать?
Сначала отметь точки, где соответствующая координата равна числу из неравенства. Для синуса сравнивают вертикальную координату точки с a, для косинуса — горизонтальную. Выбери дугу, на которой условие выполняется, и проверь, входят ли её концы.
Что делать, если число справа больше 1 или меньше −1?
Синус и косинус принимают значения только от −1 до 1, поэтому сначала сравни правую часть с этим диапазоном. Например, sin x > 2 решений не имеет, а sin x > −2 верно при любом x. Для тангенса и котангенса такого ограничения значений нет.
Почему в ответ нельзя включать точки разрыва тангенса?
В точках x = π/2 + πk тангенс не определён, поэтому выражение не имеет значения и неравенство там не выполняется. Такие точки исключают из ответа даже при нестрогом знаке.
Как изменяется решение, если внутри тригонометрической функции стоит не x, а выражение вида 2x − π/3?
Сначала решают неравенство для новой переменной t = 2x − π/3. Затем каждый найденный промежуток подставляют в это равенство и выражают x; при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются.
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
