26. Решение тригонометрических уравнений

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее тригонометрические функции неизвестного угла. Неизвестная может находиться непосредственно под знаком sin, cos, tg или ctg, а также входить в более сложный аргумент. Знание этого определения помогает понять, какие свойства функций применять.

Общее решение — запись всех значений неизвестного, удовлетворяющих уравнению, с учётом периодичности тригонометрических функций. Обычно в формулу входит k ∈ Z, то есть любое целое число. Такая запись заменяет бесконечный список отдельных корней.

Арксинус числа a, обозначаемый arcsin a, — угол из промежутка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Он существует только при −1 ≤ a ≤ 1. Арксинус даёт основной угол, после чего периодичность позволяет получить остальные решения.

Арккосинус числа a, обозначаемый arccos a, — угол из промежутка [0; π], косинус которого равен a. Как и арксинус, он определён только при −1 ≤ a ≤ 1. Это значение используют как основной угол в формуле решения уравнения cos x = a.

Как это устроено

Тригонометрическое уравнение может иметь бесконечно много корней, потому что один и тот же результат функция принимает при повторении угла через период. Например, если sin x = 1/2 выполняется при x = π/6, то оно также выполняется при добавлении любого числа 2π. Поэтому один найденный корень является лишь представителем целой серии.

Периодичность объясняет вид основных формул. У синуса и косинуса период 2π, поэтому к углам добавляют 2πk. У тангенса и котангенса период π: после увеличения аргумента на π числитель и знаменатель меняют знак одновременно, а их отношение остаётся прежним. Отсюда появляются формулы с πk.

Для sin x = a и cos x = a число a должно лежать от −1 до 1, поскольку значения синуса и косинуса находятся в этом промежутке. Тангенс и котангенс могут принимать любое действительное значение, поэтому ограничений на a нет, но нужно помнить об их точках, где функция не определена. В частности, tg x не существует при x = π/2 + πk, а ctg x — при x = πk.

Уравнение sin(kx+b)=a сначала рассматривают как уравнение относительно всего аргумента: обозначают его буквой t и решают sin t = a. Затем возвращаются к равенству kx+b = t и выражают x. Для косинуса действуют так же, только используют формулу x = ± arccos a + 2πk для переменной t.

Более сложные уравнения стараются свести к базовым. Произведение превращают в ноль и применяют правило произведения, выражения с одинаковой функцией упрощают заменой t = sin x или t = cos x, а дроби преобразуют только с контролем знаменателей. После решения нужно вернуть исходную переменную, отбросить недопустимые значения и проверить корни.

Основные тригонометрические уравнения и их общие решения

Таблицу удобно использовать после того, как уравнение приведено к одному из указанных видов. Сначала определите функцию и её аргумент, затем проверьте условие существования и подставьте нужную формулу. Если аргумент имеет вид kx+b, последний шаг — выразить из общего решения именно x.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение sin x = 1/2.

1. На единичной окружности синус равен 1/2 при углах π/6 и 5π/6 в одном периоде. Эти углы расположены симметрично относительно вертикального диаметра.
2. Так как период синуса равен 2π, к каждому из найденных углов добавляем 2πk. Получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Задача 2. Решить уравнение 2cos(3x − π/3) = √3.

1. Делим обе части на 2 и получаем cos(3x − π/3) = √3/2. Значение допустимо, поскольку оно лежит между −1 и 1.
2. Для нового аргумента применяем формулу косинуса: 3x − π/3 = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z.
3. Разбираем два случая. Из 3x − π/3 = π/6 получаем x = π/6 + 2πk/3, а из 3x − π/3 = −π/6 получаем x = π/18 + 2πk/3.

Ответ: x = π/6 + 2πk/3 или x = π/18 + 2πk/3, k ∈ Z.

Задача 3. Решить уравнение 2sin²x − 3sin x + 1 = 0.

1. В выражении встречаются только sin x и его квадрат, поэтому вводим t = sin x. Получаем квадратное уравнение 2t² − 3t + 1 = 0.
2. Разлагаем на множители: (2t − 1)(t − 1) = 0. Отсюда t = 1/2 или t = 1, и оба значения допустимы для синуса.
3. Возвращаемся к исходной переменной. При sin x = 1/2 имеем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, а при sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πk.

Ответ: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Один частный корень вместо общего решения. Ученик находит подходящий угол по таблице и останавливается, забывая о периодичности. Проверить себя можно вопросом: добавлены ли 2πk для синуса и косинуса или πk для тангенса и котангенса?

Неверная формула для косинуса. Часто путают знак перед arccos a или записывают π − arccos a, как для синуса. Для проверки подставьте полученные углы в косинус и убедитесь, что оба семейства дают одно и то же a.

Деление на sin x или cos x без проверки. Если делитель может быть нулём, такое действие способно уничтожить часть корней. Сначала рассмотрите случай нулевого делителя, а затем делите при условии, что он не равен нулю.

Недопустимое значение после замены. При t = sin x или t = cos x иногда оставляют корень t > 1 или t < −1. Сразу проверяйте условие −1 ≤ t ≤ 1, иначе дальнейшее решение будет построено на невозможном значении.

Связь с другими темами

Для решения уравнений нужны единичная окружность, табличные значения функций, их периоды и основные тригонометрические тождества. Эти знания позволяют выбирать правильную формулу и контролировать преобразования.

Тригонометрические уравнения встречаются при решении неравенств, исследовании функций и задач с параметрами. Они также описывают периодические процессы: колебания, вращение, повторяющиеся сигналы и другие модели.

Что запомнить

• Тригонометрическое уравнение может иметь бесконечно много корней.
• У синуса и косинуса период равен 2π, у тангенса и котангенса — π.
• Для уравнений sin x = a и cos x = a необходимо условие −1 ≤ a ≤ 1.
• Перед применением формулы общего решения нужно привести уравнение к одному из основных видов.
• При замене переменной нужно учитывать допустимые значения новой переменной.
• После преобразований полезно подставить найденные корни в исходное уравнение.